(ECM-AL) Uma pessoa com 120 kg de peso decidiu emagrecer. No primeiro mês, perdeu 1 kg; no segundo, o dobro do primeiro, e a perda foi dobrando a cada mês. Finalmente, atingiu o peso de 89 kg em:
a) 8 meses.
b) 7 meses.
c) 6 meses.
d) 5 meses.
e) 4 meses.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Informações dadas:
    • Peso inicial: 120\\ \text{kg}.
    • No 1.º mês a perda foi 1\\ \text{kg}.
    • A perda dobra a cada mês (ou seja, mês a mês as perdas são 1,2,4,8,\ldots kg).
    • Ao final de certo mês, o peso ficou 89\\ \text{kg}.
  • O enunciado pede: em quantos meses (entre as alternativas) a pessoa atinge 89\\ \text{kg}. As alternativas são:
    • (a) 8 meses
    • (b) 7 meses
    • (c) 6 meses
    • (d) 5 meses
    • (e) 4 meses

Passo 2

Definir variáveis e modelar a sequência de perdas.
  • Seja a_k a perda de peso no k-ésimo mês, com k=1,2,\ldots.
  • Pelo enunciado, a_1=1 e a cada mês a perda dobra, então é uma progressão geométrica com razão r=2.
  • Assim: a_k = 1\cdot 2^{\,k-1}.Aqui a_k significa "quantos kg se perdeu no mês k".

Passo 3

Calcular a perda total após n meses usando a soma da progressão geométrica.
  • A perda acumulada nos n primeiros meses é S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
  • Para uma progressão geométrica com primeiro termo a_1 e razão r\neq 1 vale a fórmula S_n = a_1\frac{r^{n}-1}{r-1}.Explicando a fórmula: ela é obtida multiplicando a soma por r, subtraindo e fatorando, mas aqui basta saber que ela fornece a soma fechada de uma soma geométrica.
  • No nosso caso a_1=1 e r=2, portanto S_n = \frac{2^{n}-1}{2-1} = 2^{n}-1.Ou seja, a perda total em n meses é 2^{n}-1 kg.

Passo 4

Relacionar perda acumulada com o peso final e montar a equação para n.
  • Peso inicial =120\\ \text{kg}.
  • Perda total em n meses =2^{n}-1\\ \text{kg}.
  • Peso após n meses: P_n = 120 - (2^{n}-1).
  • Queremos P_n = 89. Então a equação é 120 - (2^{n}-1) = 89.

Passo 5

Resolver a equação para encontrar n.
  • Simplificando a equação: 120 - 2^{n} + 1 = 89.
121 - 2^{n} = 89.
2^{n} = 121 - 89 = 32.
  • Agora reconhecer 32 como potência de 2: 32 = 2^{5}.
  • Portanto 2^{n} = 2^{5}\quad\Rightarrow\quad n = 5.

Passo 6

Verificação numérica mês a mês (para ficar seguro e poder aplicar isso em prova sem erro).
  • Perdas mês a mês: 1,2,4,8,16.
  • Soma das primeiras 5 perdas: 1+2+4+8+16 = 31 (note que 2^{5}-1=32-1=31).
  • Peso após 5 meses: 120-31=89\\ \text{kg}. Confere com o enunciado.

Passo 7

Interpretação final e escolha da alternativa.
  • Encontramos n=5 meses. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 5 meses.

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