(ECM-AL) Uma pessoa com 120 kg de peso decidiu emagrecer. No primeiro mês, perdeu 1 kg; no segundo, o dobro do primeiro, e a perda foi dobrando a cada mês. Finalmente, atingiu o peso de 89 kg em:
a) 8 meses.
b) 7 meses.
c) 6 meses.
d) 5 meses.
e) 4 meses.
a) 8 meses.
b) 7 meses.
c) 6 meses.
d) 5 meses.
e) 4 meses.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Informações dadas:
- Peso inicial:
. - No 1.º mês a perda foi
. - A perda dobra a cada mês (ou seja, mês a mês as perdas são
kg). - Ao final de certo mês, o peso ficou
.
- Peso inicial:
-
O enunciado pede: em quantos meses (entre as alternativas) a pessoa atinge
. As alternativas são: - (a)
meses - (b)
meses - (c)
meses - (d)
meses - (e)
meses
- (a)
Passo 2
Definir variáveis e modelar a sequência de perdas.
- Seja
a perda de peso no -ésimo mês, com . - Pelo enunciado,
e a cada mês a perda dobra, então é uma progressão geométrica com razão . - Assim:
Aqui significa "quantos kg se perdeu no mês ".
Passo 3
Calcular a perda total após
meses usando a soma da progressão geométrica.
- A perda acumulada nos
primeiros meses é - Para uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão vale a fórmula Explicando a fórmula: ela é obtida multiplicando a soma por , subtraindo e fatorando, mas aqui basta saber que ela fornece a soma fechada de uma soma geométrica. - No nosso caso
e , portanto Ou seja, a perda total em meses é kg.
Passo 4
Relacionar perda acumulada com o peso final e montar a equação para
.
- Peso inicial
. - Perda total em
meses . - Peso após
meses: - Queremos
. Então a equação é
Passo 5
Resolver a equação para encontrar
.
- Simplificando a equação:
- Agora reconhecer
como potência de : . - Portanto
Passo 6
Verificação numérica mês a mês (para ficar seguro e poder aplicar isso em prova sem erro).
- Perdas mês a mês:
. - Soma das primeiras 5 perdas:
(note que ). - Peso após 5 meses:
. Confere com o enunciado.
Passo 7
Interpretação final e escolha da alternativa.
- Encontramos
meses. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)
meses.