Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida. O eixo deve transmitir um torque de 1200 N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40 MPa nem uma razão de torção de 0,75 \% m. Determine o diâmetro necessário do eixo em mm (tomar como \mathrm{G}_{\text {aço }}=78 \mathrm{GPa}ç ).
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Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro de uma barra circular sólida (eixo) que transmite um torque de 1200\\ \mathrm{N\cdot m} sem que sejam excedidos dois limites simultâneos:
  • tensão de cisalhamento admissível \tau_{\mathrm{adm}} = 40\\ \mathrm{MPa};
  • razão de torção admissível igual a \,0,75\\ \%\\ \text{m} (valor do enunciado).
Dados fornecidos:
  • T = 1200\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • \tau_{\mathrm{adm}} = 40\\ \mathrm{MPa} = 40\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • razão de torção admissível: \,0,75\\ \%\\ \text{m} (interpretação a discutir).
  • módulo de cisalhamento do aço G = 78\\ \mathrm{GPa}.
O que deve ser encontrado: diâmetro necessário do eixo em \mathrm{mm} que satisfaça ambas as restrições (tensão e torção).

Passo 2

Interpretação da restrição de torção (importante): a expressão do enunciado “ \,0,75\\ \%\\ \text{m}” é ambígua. A interpretação mais razoável, e usual em exercícios, é que se trata de uma razão de torção igual a 0,75\% por metro, isto é, ângulo de torção por comprimento igual a 0{,}75\% por 1\\ \mathrm{m}. Vou assumir essa interpretação. Logo:
  • razão de torção admissível (ângulo por comprimento) é
\left(\frac{\varphi}{L}\right)_{\mathrm{adm}} = 0{,}75\%/\mathrm{m} = 0{,}0075\\ \mathrm{rad/m}.
Como vou trabalhar em \mathrm{mm} para obter o diâmetro em \mathrm{mm}, converto para \mathrm{rad/mm}:
\left(\frac{\varphi}{L}\right)_{\mathrm{adm}} = 0{,}0075\\ \mathrm{rad/m} = 7{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{rad/mm}.
Também converto o torque e o módulo G para unidades compatíveis \mathrm{N} e \mathrm{mm}:
T = 1200\\ \mathrm{N\cdot m} = 1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}, \qquad G = 78\\ \mathrm{GPa} = 7{,}8\times10^{4}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.

Passo 3

Restrição pela tensão de cisalhamento: fórmula e dedução.
Para um eixo circular sólido:
  • o momento polar de inércia (segunda polar) é
J = \frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro (em \mathrm{mm}).
  • a tensão de cisalhamento máxima devido ao torque T ocorre na superfície e é dada por
\tau_{\max} = \frac{T\,c}{J},
onde c é o raio, c = d/2. Substituindo c e J obtemos a forma prática
\tau_{\max} = \frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Impondo \tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}} e isolando d:
d \ge \left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}\right)^{1/3}.
Agora substituo os números (tudo em unidades \mathrm{N} e \mathrm{mm}):
16\,T = 16\cdot(1{,}2\times10^{6}) = 1{,}92\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot mm},
\pi\,\tau_{\mathrm{adm}} = \pi\cdot40 \approx 125{,}663706\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Logo
\frac{16T}{\pi\tau_{\mathrm{adm}}} \approx \frac{1{,}92\times10^{7}}{125{,}663706} \approx 1{,}52789\times10^{5}\\ (\mathrm{mm^{3}}).
Tomando a raiz cúbica:
d_{\tau} \approx \left(1{,}52789\times10^{5}\right)^{1/3} \approx 53{,}46\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: para não exceder a tensão admissível de 40\\ \mathrm{MPa}, o diâmetro do eixo deve ser pelo menos \,53{,}46\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Restrição pela torção (razão de torção): fórmula e dedução.
Para um eixo circular sólido, o ângulo de torção por comprimento é
\frac{\varphi}{L}=\frac{T}{J\,G}.
Impondo \dfrac{\varphi}{L}\le\left(\dfrac{\varphi}{L}\right)_{\mathrm{adm}} e substituindo J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}, isolamos d:
\frac{T}{(\pi d^{4}/32)\,G}\le \left(\frac{\varphi}{L}\right)_{\mathrm{adm}} \quad\Rightarrow\quad d \ge \left(\frac{32\,T}{\pi\,G\,\left(\dfrac{\varphi}{L}\right)_{\mathrm{adm}}}\right)^{1/4}.
Substituindo os valores (tudo em \mathrm{N} e \mathrm{mm}):
32\,T = 32\cdot(1{,}2\times10^{6}) = 3{,}84\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot mm},
\pi\,G\,\left(\frac{\varphi}{L}\right)_{\mathrm{adm}} = \pi\cdot(7{,}8\times10^{4})\cdot(7{,}5\times10^{-6}) = \pi\cdot0{,}585 \approx 1{,}8378317.
Logo
\frac{32T}{\pi G (\varphi/L)_{\mathrm{adm}}} \approx \frac{3{,}84\times10^{7}}{1{,}8378317} \approx 2{,}0894\times10^{7}\\ (\mathrm{mm^{4}}).
Tomando a raiz quarta:
d_{\varphi} \approx \left(2{,}0894\times10^{7}\right)^{1/4} \approx 67{,}63\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: para não exceder a razão de torção admissível, o diâmetro deve ser pelo menos \,67{,}63\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Comparação das duas restrições e escolha final.
As duas condições deram:
  • pela tensão: d_{\tau}\approx 53{,}46\\ \mathrm{mm};
  • pela torção: d_{\varphi}\approx 67{,}63\\ \mathrm{mm}.
Como o eixo deve satisfazer ambas, o diâmetro mínimo necessário é o maior dos dois valores, ou seja d_{\varphi}.
Na prática, recomenda-se adotar um diâmetro comercial ou arredondar para cima para garantir segurança. Arredondando para o milímetro inteiro mais próximo por segurança, temos d \approx 68\\ \mathrm{mm}.

Resposta

d = 68\\ \mathrm{mm}

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