Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida. O eixo deve transmitir um torque de 1200 N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40 MPa nem uma razão de torção de 0,75 \% m. Determine o diâmetro necessário do eixo em mm (tomar como \mathrm{G}_{\text {aço }}=78 \mathrm{GPa} ).
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Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro de uma barra circular sólida (eixo) que transmite um torque de 1200\\ \mathrm{N\cdot m} sem que sejam excedidos dois limites simultâneos:
tensão de cisalhamento admissível \tau_{\mathrm{adm}} = 40\\ \mathrm{MPa};
razão de torção admissível igual a \,0,75\\ \%\\ \text{m} (valor do enunciado).
razão de torção admissível: \,0,75\\ \%\\ \text{m} (interpretação a discutir).
módulo de cisalhamento do aço G = 78\\ \mathrm{GPa}.
O que deve ser encontrado: diâmetro necessário do eixo em \mathrm{mm} que satisfaça ambas as restrições (tensão e torção).
Passo 2
Interpretação da restrição de torção (importante): a expressão do enunciado “\,0,75\\ \%\\ \text{m}” é ambígua. A interpretação mais razoável, e usual em exercícios, é que se trata de uma razão de torção igual a 0,75\% por metro, isto é, ângulo de torção por comprimento igual a 0{,}75\% por 1\\ \mathrm{m}. Vou assumir essa interpretação. Logo:
razão de torção admissível (ângulo por comprimento) é
Interpretação: para não exceder a razão de torção admissível, o diâmetro deve ser pelo menos \,67{,}63\\ \mathrm{mm}.
Passo 5
Comparação das duas restrições e escolha final.
As duas condições deram:
pela tensão: d_{\tau}\approx 53{,}46\\ \mathrm{mm};
pela torção: d_{\varphi}\approx 67{,}63\\ \mathrm{mm}.
Como o eixo deve satisfazer ambas, o diâmetro mínimo necessário é o maior dos dois valores, ou seja d_{\varphi}.
Na prática, recomenda-se adotar um diâmetro comercial ou arredondar para cima para garantir segurança. Arredondando para o milímetro inteiro mais próximo por segurança, temos d \approx 68\\ \mathrm{mm}.