O eixo maciço de uma linha de beneficiamento de madeira deve transmitir 12 kW de potência a partir de um motor elétrico trifásico que gira a 1750 rpm .
Considerando que:
  • a verificação deve ser feita apenas quanto à tensão de cisalhamento devido ao torque;
  • o projeto deve atender a um coeficiente de segurança n escolhido pelo grupo
  • o material do eixo será selecionado pelos estudantes em tabelas, bancos de dados ou handbooks, identificando propriedades mecânicas relevantes para a definição da tensão admissível;
  • o diâmetro final deve ser compatível com diâmetros padronizados de mercado;
  • os estudantes também deverão consultar catálogos de motores elétricos para relacionar potência, rotação e torque;
Cada grupo deverá desenvolver uma proposta de dimensionamento para o eixo principal.
Selecionar um motor elétrico comercial compatível com a aplicação, registrando fabricante, potência nominal e rotação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumo claro):
  • Potência a transmitir: P=12\\ \mathrm{kW}.
  • Rotação do motor: N=1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Verificação solicitada: apenas tensão de cisalhamento no eixo causada pelo torque (ou seja, verificar que a máxima tensão de cisalhamento devido ao torque seja aceitável).
  • Requisitos de projeto: adotar um coeficiente de segurança n escolhido pelo grupo; escolher material do eixo a partir de tabelas/bancos de dados; diâmetro final compatível com diâmetros padronizados de mercado; escolher um motor comercial compatível (fabricante, potência nominal e rotação).
  • Pedido final: desenvolver proposta de dimensionamento para o eixo principal e selecionar um motor elétrico comercial compatível, registrando fabricante, potência nominal e rotação.
Dados que vou assumir (justificações e escolhas que o grupo pode ajustar):
  • Coeficiente de segurança escolhido: n=2. Justificativa: valor conservador e comumente usado para dimensionamento estático de eixos sem fadiga crítica.
  • Material escolhido para o eixo (exemplo prático e muito usado): aço carbono médio AISI/SAE 1045 (C45). Valor típico adotado para cálculo: limite de escoamento \sigma_{y}=310\\ \mathrm{MPa} (valor típico para aço 1045 em condição usual; o estudante deve confirmar em tabela / handbook que usar).
    Observação: se o grupo escolher outro material ou outro n, repetir os cálculos com os novos valores. Vou mostrar passo a passo como fazer os cálculos e como checar o diâmetro padronizado.

Passo 2

Calcular o torque transmitido pelo eixo a partir de P e N.
Fórmula que relaciona potência, torque e rotação:
P = \frac{2\pi N T}{60},
onde
  • P é a potência em watts ( \mathrm{W}),
  • N é a rotação em \mathrm{rpm},
  • T é o torque em \mathrm{N\,m}.
Isolando T:
T = \frac{60P}{2\pi N} = \frac{30P}{\pi N}.
Substituindo P=12\\ \mathrm{kW}=12000\\ \mathrm{W} e N=1750\\ \mathrm{rpm}:
T = \frac{30\cdot 12000}{\pi\cdot 1750}.
Vamos calcular passo a passo:
\pi\cdot 1750 \approx 3{,}14159\cdot1750 \approx 5497{,}787,
30\cdot12000 = 360000,
T \approx \frac{360000}{5497{,}787}\approx 65{,}5\\ \mathrm{N\,m}.
Interpretação: o eixo precisa transmitir aproximadamente \,T\approx 65{,}5\\ \mathrm{N\,m}\, (valor médio para dimensionamento estático de torque).

Passo 3

Entender a tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço submetido a torque (aulas rápidas).
Conceitos e fórmulas importantes:
  • Para um eixo circular maciço submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
\tau_{\max} = \frac{T\,r}{J},
onde
  • r é o raio do eixo (m),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal em torção (para seção circular sólida),
J = \frac{\pi d^{4}}{32},
com d sendo o diâmetro do eixo (m).
Substituindo r=d/2 e J obtemos a forma usual:
\tau_{\max} = \frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Significado das variáveis (para não se perder na prova):
  • \tau_{\max}: máxima tensão de cisalhamento na superfície do eixo (unidade \mathrm{Pa} ou \mathrm{MPa});
  • T: torque aplicado (unidade \mathrm{N\,m});
  • d: diâmetro do eixo (unidade \mathrm{m} ou \mathrm{mm}).

Passo 4

Determinar a tensão admissível de cisalhamento do material (como transformar limite de escoamento em tensão admissível para cisalhamento).
Escolha de critério e justificativa:
  • Para um material dúctil, uma forma conservadora é usar o critério de Tresca (critério de máxima tensão de cisalhamento) que dá \tau_{y}=\dfrac{\sigma_{y}}{2}, onde \sigma_{y} é o limite de escoamento à tração.
  • Com fator de segurança n, a tensão admissível de cisalhamento será
\tau_{\mathrm{adm}} = \frac{\tau_{y}}{n} = \frac{\sigma_{y}}{2\,n}.
Usando os números que assumimos ( \sigma_{y}=310\\ \mathrm{MPa}, n=2):
\tau_{y} = \frac{310}{2} = 155\\ \mathrm{MPa},
\tau_{\mathrm{adm}} = \frac{155}{2} = 77{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: outra opção é usar o critério de von Mises; esse daria um valor ligeiramente diferente para a relação entre \sigma_y e \tau_y. O importante em prova é justificar o critério escolhido e usar as tabelas do material para \sigma_y.

Passo 5

Calcular o diâmetro mínimo necessário imposto pela tensão admissível.
A condição de projeto é:
\tau_{\max} = \frac{16\,T}{\pi d^{3}} \le \tau_{\mathrm{adm}}.
Isolando d:
d^{3} \ge \frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}} \quad\Rightarrow\quad d \ge \sqrt[3]{\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}}.
Substituindo os valores numéricos ( T=65{,}5\\ \mathrm{N\,m}=65{,}5\cdot10^{3}\\ \mathrm{N\,mm} se quisermos trabalhar em mm, ou trabalhar em SI com metros — aqui uso metros diretamente):
Usarei unidades SI consistentes em \mathrm{N\,m} e \mathrm{MPa}=\mathrm{N/mm^{2}}. Para evitar confusão de unidades, converto para \mathrm{N\,mm} e \mathrm{N/mm^{2}} (forma prática para obter d em mm):
  • T = 65{,}5\\ \mathrm{N\,m} = 65{,}500\\ \mathrm{N\,mm}.
  • \tau_{\mathrm{adm}} = 77{,}5\\ \mathrm{MPa} = 77{,}5\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Agora:
d \ge \sqrt[3]{\frac{16\cdot 65{,}500}{\pi\cdot 77{,}5}}\\ \mathrm{mm}.
Calcule o numerador e denominador:
16\cdot 65{,}500 = 1{,}048{,}000,
\pi\cdot 77{,}5 \approx 3{,}14159\cdot 77{,}5 \approx 243{,}56.
\frac{1{,}048{,}000}{243{,}56} \approx 4{,}299.
d \ge \sqrt[3]{4{,}299}\\ \mathrm{mm} \approx 16{,}2\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o diâmetro mínimo teórico para atender à tensão admissível de cisalhamento é aproximadamente \,d_{\min}\approx 16{,}2\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Escolha do diâmetro padronizado e considerações práticas.
  • Como o diâmetro calculado é \,16{,}2\\ \mathrm{mm}, deve-se escolher o próximo diâmetro padronizado maior disponível no mercado para garantir margem e para facilitar acoplamentos, rolamentos e chaves. Diâmetros métricos padronizados usuais: \,16,\\\ 18,\\\ 20,\\\ 22,\\\ 25\\ \mathrm{mm}, etc.
  • O próximo diâmetro comercial maior é \,d=18\\ \mathrm{mm}. Opção conservadora e prática: adotar d=18\\ \mathrm{mm}.
  • Observação importante: se o eixo tiver chaves (entaalhes), rasgos, chavetas ou ombreiras, essas reduzem a seção efetiva e introduzem concentrações de tensão. Mesmo que o enunciado peça verificação apenas quanto à tensão de cisalhamento por torque, na prática recomenda-se:
    • aumentar um passo de diâmetro (por exemplo, optar por d=20\\ \mathrm{mm}) ou
    • projetar reforços locais ou utilizar chavetas com dimensões que não reduzam excessivamente a resistência.
  • Para esta proposta e com a verificação pedida (só cisalhamento por torque), adoto d=18\\ \mathrm{mm} como diâmetro padronizado aceitável. Se o grupo quiser margem extra contra chaveamento, escolha d=20\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Resumo final do dimensionamento (valores úteis para registro e para a prova):
  • Torque transmitido aproximado: \,T\approx 65{,}5\\ \mathrm{N\,m}.
  • Material adotado (exemplo): AISI 1045, \sigma_{y}=310\\ \mathrm{MPa} (confirmar na tabela do material escolhida).
  • Critério de cálculo: Tresca para cisalhamento ( \tau_{y}=\sigma_{y}/2).
  • Fator de segurança adotado: n=2.
  • Tensão admissível de cisalhamento: \tau_{\mathrm{adm}}=77{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • Diâmetro mínimo calculado: d_{\min}\approx 16{,}2\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro comercial escolhido: d=18\\ \mathrm{mm} (recomendação: considerar d=20\\ \mathrm{mm} se houver chaveta/entalhe ou para maior margem).

Passo 8

Seleção de um motor elétrico comercial compatível (exemplo prático).
Critério: motor comercial deve ter potência nominal igual ou superior a P=12\\ \mathrm{kW} e rotação próxima de 1750\\ \mathrm{rpm}. Motores industriais padrão próximos a 1750\\ \mathrm{rpm} são motores de 4 polos em rede de 60\\ \mathrm{Hz} cujo regime sob carga típica fica perto de 1750 a 1800\\ \mathrm{rpm} (síncrono 1800\\ \mathrm{rpm}, escorregamento típico leva a cerca de 1750\\ \mathrm{rpm}). Como exemplo prático (marca comercial conhecida e disponível em catálogos):
  • Motor sugerido (exemplo): fabricante WEG — motor assíncrono trifásico, potência nominal 15\\ \mathrm{kW}, 4 polos, rotação nominal aproximadamente 1750\\ \mathrm{rpm} (valor nominal de catálogo tipicamente informado como 1800\\ \mathrm{rpm} para 60 Hz; sob carga o motor gira próximo a 1750\\ \mathrm{rpm}).
    Observação: o estudante deve consultar o catálogo do fabricante escolhido para anotar exatamente o modelo, a rotação nominal (valor de placa), rendimento, fator de serviço e torque nominal. Eu escolhi um motor com P\ge 12\\ \mathrm{kW}; motor de 15\\ \mathrm{kW} é uma escolha comercial comum.
Recomendações finais práticas:
  • Conferir o torque nominal do motor no catálogo (o motor escolhido deverá ter torque contínuo nominal maior ou igual ao torque requerido \approx 65{,}5\\ \mathrm{N\,m}). Verificar também torque de partida e fatores de serviço.
  • Confirmar dimensões do eixo do motor (diâmetro do eixo de saída do motor) e compatibilizar com o diâmetro do eixo projetado e acoplamentos (pode ser necessário fazer eixo acoplado ou usar flange/união).
  • Verificar presença de chaveta/entalhe e recalcular esforços locais se necessário (aumentar diâmetro se houver redução significativa de seção).

Resposta

Motor selecionado (exemplo): WEG — motor assíncrono trifásico, potência nominal 15\\ \mathrm{kW}, rotação nominal \approx 1750\\ \mathrm{rpm}.
Diâmetro do eixo (padronizado) proposto: d=18\\ \mathrm{mm} (material exemplo: AISI 1045, \sigma_{y}=310\\ \mathrm{MPa}, fator de segurança n=2).

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