O eixo maciço de uma linha de beneficiamento de madeira deve transmitir 12 kW de potência a partir de um motor elétrico trifásico que gira a 1750 rpm .
Considerando que:
  • a verificação deve ser feita apenas quanto à tensão de cisalhamento devido ao torque;
  • o projeto deve atender a um coeficiente de segurança n escolhido pelo grupo
  • o material do eixo será selecionado pelos estudantes em tabelas, bancos de dados ou handbooks, identificando propriedades mecânicas relevantes para a definição da tensão admissível;
  • o diâmetro final deve ser compatível com diâmetros padronizados de mercado;
  • os estudantes também deverão consultar catálogos de motores elétricos para relacionar potência, rotação e torque;
Cada grupo deverá desenvolver uma proposta de dimensionamento para o eixo principal.
Calcular o torque transmitido pelo eixo a partir da potência e da rotação do motor.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi fornecido:
  • Pedido: calcular o torque transmitido pelo eixo a partir da potência e da rotação do motor.
  • Dados fornecidos:
    • Potência do motor: P=12\\ \text{kW}.
    • Rotação do motor: n=1750\\ \text{rpm}.
  • Observação: a verificação será apenas quanto à tensão de cisalhamento devido ao torque, mas aqui será calculado somente o torque nominal transmitido pelo eixo (para uso nas próximas etapas do dimensionamento).

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aulas rápidas, tipo “cola da prova”):
  • Torque é a medida da força de rotação; em unidades SI o torque é expresso em newton-metro \mathrm{N\cdot m}.
  • Potência mecânica rotacional relaciona-se com torque e velocidade angular pela fórmula
P = \tau \,\omega,
onde:
  • P é a potência em watts ( \mathrm{W}),
  • \tau é o torque em \mathrm{N\cdot m},
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
  • Daí isolamos o torque:
\tau = \dfrac{P}{\omega}.

Passo 3

Converter rotação em rpm para velocidade angular em \mathrm{rad/s} e adaptar fórmulas:
  • A relação entre rotação n em \mathrm{rpm} e velocidade angular \omega é
\omega = 2\pi \dfrac{n}{60}.
  • Substituindo em \tau = P/\omega obtemos a fórmula prática
\tau = \dfrac{P}{2\pi n/60} = \dfrac{60\,P}{2\pi\,n} = \dfrac{30\,P}{\pi\,n}.
  • Observação prática muito usada em cálculo rápido: se P estiver em \text{kW} e n em \text{rpm}, então uma forma equivalente é
\tau\;(\mathrm{N\cdot m}) \approx \dfrac{9549{,}30\;P(\text{kW})}{n(\text{rpm})},
onde 9549{,}30=\dfrac{60\times1000}{2\pi}. (Muitas tabelas arredondam para 9550.)

Passo 4

Aplicar os números passo a passo (sem pular contas):
  • Primeiro, colocar a potência em \mathrm{W}:
P = 12\\ \text{kW} = 12\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
  • Usar a fórmula exata \tau = \dfrac{60P}{2\pi n} e substituir:
\tau = \dfrac{60\cdot(12\times10^{3})}{2\pi\cdot1750}.
  • Calcular o numerador:
60\cdot(12\times10^{3}) = 720\times10^{3} = 720000.
  • Calcular o denominador (mantendo em forma simbólica antes de dividir):
2\pi\cdot1750 = 3500\pi.
  • Portanto
\tau = \dfrac{720000}{3500\pi} = \dfrac{205{,}7142857}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Agora realizar a divisão numérica (aproximação razoável para usar em projeto):
\tau \approx 65{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Checagem rápida por fórmula prática (sanity check):
  • Usando a forma prática com P em \text{kW}:
\tau \approx \dfrac{9549{,}30\cdot P(\text{kW})}{n(\text{rpm})} = \dfrac{9549{,}30\cdot12}{1750}\approx 65{,}48\\ \mathrm{N\cdot m},
o que confirma o resultado anterior (pequenas diferenças aparecem se usar 9550 em vez de 9549{,}30).

Passo 6

Comentário prático (para a prova e para o projeto):
  • O valor calculado \tau é o torque nominal transmitido pelo eixo. No dimensionamento real deve-se considerar margem de segurança (fator de segurança), possíveis esforços dinâmicos, picos de torque do processo e arredondamento para diâmetros padronizados.
  • Para escolher diâmetro do eixo a partir deste torque você usará a tensão de cisalhamento admissível do material e a fórmula de resistência ao cisalhamento em uma seção circular: isso vem nas próximas etapas do dimensionamento.

Resposta

\tau \approx 65{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}

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