O elemento consiste em dois canais U de plástico com 12 mm de espessura colados em A e B. Se a cola puder suportar uma tensão de cisalhamento admissível de \tau_{\text {adm }}=3,2 \mathrm{MPa}, determine a intensidade máxima w_{0} do carregamento distribuido triangular que pode ser aplicado ao elemento tomando como base a resistência da cola. Para este carregamento desenhe a distribuição de tensão cisalhante da seção critica que ocorre no plástico.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Dois canais U de plástico colados nas linhas A e B.
  • Espessura do plástico (provavelmente da parede do canal): \,12\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão admissível na cola (cisalhamento): \tau_{\mathrm{adm}}=3{,}2\\ \mathrm{MPa}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a intensidade máxima \,w_{0}\, do carregamento distribuído triangular que pode ser aplicado, tomando como base a resistência da cola.
  2. Para esse carregamento, desenhar (descrever) a distribuição da tensão cisalhante na seção crítica que ocorre no plástico.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico de \,w_0:
  • Geometria completa da seção (dimensões externas dos canais U, localização exata das linhas de cola A e B, largura fora do plano — isto é, a largura efetiva de cola num comprimento unitário).
  • Condições de apoio e o comprimento da viga \,L (simplesmente apoiada? engastada?).
  • Precisão do carregamento triangular (começa com intensidade w_0 em uma extremidade e vai a zero na outra? ao longo de todo o vão?).
  • Localização da seção crítica (em muitos problemas é junto a uma linha de cola, num apoio ou no meio do vão).
    Sem esses dados geométricos e de apoio não é possível calcular numericamente \,w_0. A seguir explico passo a passo como proceder assim que esses dados estiverem disponíveis — a resolução que você poderá aplicar na prova.

Passo 2

Estratégia geral (resumo dos passos que vamos executar numericamente quando tivermos os dados):
  1. Calcular a força cortante V na seção crítica em função de \,w_0. Para cargas triangulares V será linear em \,w_0: podemos escrever \,V = \kappa_V\, w_0 onde \kappa_V depende só da geometria do carregamento e do apoio (por exemplo \kappa_V tem dimensão de comprimento quadrado).
  2. Calcular o fluxo de cisalhamento q na interface cola/plástico usando a fórmula clássica do cisalhamento em seções compostas:
q=\frac{V\,Q}{I},
onde:
  • V é a força cortante na seção (N),
  • Q é o primeiro momento de área da parte do corpo que fica acima (ou abaixo) da linha onde se calcula o cisalhamento (unidade \mathrm{m}^3),
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro (unidade \mathrm{m}^4).
  1. Converter o fluxo de cisalhamento q em tensão de cisalhamento na cola \tau dividindo pelo «comprimento de cola» efetivo no sentido fora do plano (largura de adesão) b:
\tau=\frac{q}{b}=\frac{V\,Q}{I\,b}.
Se houver duas linhas de cola (A e B) que compartilham a transmissão de cisalhamento igualmente, o fluxo por linha será metade e a tensão em cada linha será \tau = \dfrac{q/2}{b_{\text{linha}}}. Atenção: é preciso saber como a cola está distribuída no plano fora do desenho (largura do conjunto colado).
4. Impor a condição \tau \le \tau_{\mathrm{adm}} e resolver para \,w_0. Como V é proporcional a w_0, \tau será proporcional a w_0 e daí vem uma expressão simples para w_{0,\max}.
Esses são os passos fundamentais. Agora eu explico cada fórmula e conceito com calma, para você poder aplicar na prova.

Passo 3

Entendendo a força cortante V resultante do carregamento triangular (como calcular V em função de \,w_0).
Exemplo típico (muito usado em provas): viga simplesmente apoiada de comprimento L com carregamento triangular que tem intensidade w_0 na extremidade esquerda ( x=0) e decresce linearmente até zero na extremidade direita ( x=L), ou seja
w(x)=w_0\left(1-\frac{x}{L}\right),\qquad 0\le x\le L.
  • Força resultante total:
W=\int_0^L w(x)\,dx=\tfrac{1}{2}w_0 L.
  • Braço da força (posição do resultado em relação à ponta com w_0):
\bar{x}=\frac{1}{W}\int_0^L x\,w(x)\,dx=\frac{L}{3}.
  • Reações nos apoios (para viga simplesmente apoiada, com o ponto x=0 à esquerda):
R_A = W\frac{L-\bar{x}}{L}=W\frac{2}{3}=\frac{w_0 L}{3}, \qquad R_B = W\frac{\bar{x}}{L}=W\frac{1}{3}=\frac{w_0 L}{6}.
  • Força cortante à esquerda de uma seção situada em x (medida a partir da extremidade com w_0):
V(x)=R_A-\int_0^x w(s)\,ds = \frac{w_0 L}{3}-w_0\!\left(x-\frac{x^2}{2L}\right).
Observe que V(x) é proporcional a w_0. Em geral podemos escrever para a seção crítica x=x_c:
V_c = \left(\frac{V_c}{w_0}\right)\,w_0,
onde o coeficiente \dfrac{V_c}{w_0} depende só de L e da posição x_c. Em outras condições de contorno (apoios diferentes) você obtém outro \dfrac{V_c}{w_0}, mas a ideia é a mesma: determine primeiro V_c em termos de w_0.

Passo 4

Entendendo o fluxo de cisalhamento q e a relação com a tensão na cola.
  1. O fluxo de cisalhamento q (em N/m — força por unidade de largura fora do plano) na interface causada pela força cortante V é dado por
q=\frac{V\,Q}{I}.
Explicando Q e I de forma prática:
  • I é o momento de inércia da seção composta inteira (do conjunto dos dois canais colados) em relação ao eixo neutro. Para seções compostas calcula-se somando os momentos de inércia das partes com o teorema do eixo paralelo quando necessário.
  • Q é o primeiro momento da área da parte que está do lado onde se calcula o cisalhamento. Por exemplo, se a cola está na junção entre flange inferior e corpo da seção e a parte «acima» dessa junção tem área A_{\text{acima}}, então
Q=\int_{A_{\text{acima}}} y\,dA = A_{\text{acima}} \cdot \bar{y}_{\text{acima}},
onde \bar{y}_{\text{acima}} é a distância entre o centroide da área acima e o eixo neutro.
  1. Para obter a tensão de cisalhamento média na cola, divide-se o fluxo q pela largura efetiva de cola b (unidade \mathrm{m}):
\tau_{\text{cola}}=\frac{q}{b}=\frac{V\,Q}{I\,b}.
Se existem duas linhas de cola que vão dividir a transmissão de cisalhamento igualmente, o fluxo por linha será q/2 e a tensão em cada linha será \tau_{\text{linha}}=\dfrac{q/2}{b_{\text{linha}}}. Então atenção: saber se a cola está só numa linha ou em duas (A e B) muda o b do denominador.
  1. Condição de segurança:
\tau_{\text{cola}}\le \tau_{\mathrm{adm}}.
Como V é proporcional a w_0, escrevemos V=\left(\dfrac{V_c}{w_0}\right)w_0 e substituímos:
\frac{\left(\dfrac{V_c}{w_0}\right)w_0 \; Q}{I\,b}\le \tau_{\mathrm{adm}} \quad\Rightarrow\quad w_0 \le \frac{\tau_{\mathrm{adm}}\,I\,b}{\left(\dfrac{V_c}{w_0}\right)Q}.
Portanto o máximo admissível é
\boxed{\,w_{0,\max}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}\,I\,b}{\left(\dfrac{V_c}{w_0}\right)Q}\,}
onde:
  • \dfrac{V_c}{w_0} é o coeficiente que dá V_c por unidade de w_0 (obtido do passo 3),
  • I e Q são propriedades geométricas da seção (obtidas com os dados geométricos),
  • b é a largura efetiva de cola (ou 2b_{\text{linha}} se houver duas linhas com mesma largura e elas dividirem igualmente).
Observação prática: todos os termos à direita (exceto \tau_{\mathrm{adm}}) dependem só da geometria; \tau_{\mathrm{adm}} é dado. Assim você terá uma fórmula direta para calcular w_{0,\max}.

Passo 5

Como calcular I e Q na prática (passos que você terá de executar com as dimensões):
  • Divida a seção composta em retângulos simples (paredes do canal, flanges, etc.). Para cada retângulo compute:
    • Área A_i.
    • Centroide y_i relativamente ao eixo neutro da seção total (primeiro encontre o eixo neutro através de \sum A_i y_i = 0 quando tomar referência adequada).
    • Momento de inércia local I_{i,\text{cent}}=(b h^3)/12 em relação ao centroide do retângulo.
    • Use o teorema do eixo paralelo: I_i = I_{i,\text{cent}} + A_i d_i^2, onde d_i é a distância entre o centroide do retângulo e o eixo neutro.
  • Some para obter I=\sum I_i.
  • Para Q escolha a parte da seção «acima» (ou «abaixo») da linha de cola e calcule Q=\sum A_i \, \bar{y}_i relativo ao eixo neutro (a distância do centroide de cada peça até o eixo neutro).
Esses cálculos são rotineiros em provas; faça-os com cuidado e sem pular etapas.

Passo 6

Distribuição da tensão cisalhante na seção crítica (como desenhar / descrever).
  • Para a seção transversal do plástico a tensão cisalhante longitudinal \tau_{xz}(y) (variação ao longo da altura y) obedece à fórmula:
\tau_{xz}(y)=\frac{V\,Q(y)}{I\,b(y)},
onde Q(y)=\int_{y}^{y_{\text{ext}}} y'\,dA é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) do ponto considerado, e b(y) é a largura local da seção naquele plano.
  • Em seções retangulares simples \tau_{xz}(y) tem forma aproximadamente parabolóide (zero nas fibras externas, máximo próximo do eixo neutro). Para seções compostas o perfil pode ser diferente por partes, mas a ideia é a mesma: máximo próximo ao eixo neutro.
  • Na interface cola/plástico a tensão de cisalhamento que realmente interessa é a tensão média transmitida pela cola, que calculamos através de \tau_{\text{cola}}=\dfrac{V\,Q}{I\,b} (valor que deve ser comparado com \tau_{\mathrm{adm}}). Se houver duas linhas de cola, cada linha receberá uma parte do fluxo; portanto o desenho da distribuição de tensão cisalhante na seção crítica deve mostrar:
    • Curva da \tau_{xz}(y) no plástico (zero nas bordas, máxima na vizinhança do neutro).
    • Nos pontos de cola A e B, indicar a tensão média na cola (valor \tau_{\text{cola}} calculado) e, se aplicável, que cada linha leva metade do fluxo (se esse for o caso).
  • Em linguagem de prova: desenhe a seção transversal, marque o eixo neutro, trace uma curva que começa em zero na fibra extrema e cresce até o máximo no neutro; marque nas interfaces A e B as setas indicando cisalhamento transmitido pela cola e escreva o valor \tau_{\text{cola}}=\dfrac{VQ}{Ib}.

Passo 7

Exemplo rápido (para você ver a aplicação numérica — não use estes números se sua viga tiver outras dimensões; é só para entender o processo):
Suponha:
  • Viga simplesmente apoiada, L conhecido.
  • Seção tal que para a linha de cola escolhida foi calculado: I (m^4) e Q (m^3).
  • Largura total de cola b (m).
  • Coeficiente \dfrac{V_c}{w_0} encontrado do passo 3 (em N·s²/m³? melhor ver em unidades: se w_0 em N/m ^2 por unidade de comprimento, então V_c/w_0 tem dimensão \mathrm{m}^2).
Então:
w_{0,\max}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}\,I\,b}{\left(\dfrac{V_c}{w_0}\right)Q}.
Procedimento na prova:
  1. Calcule \dfrac{V_c}{w_0} (use expressão analítica do passo 3).
  2. Calcule I e Q com as dimensões dadas.
  3. Meça/identifique b (largura de cola ou somatório das larguras se houver mais de uma linha).
  4. Substitua tudo na fórmula e obtenha w_{0,\max}.
  5. Desenhe \tau_{xz}(y)=\dfrac{VQ(y)}{Ib(y)} qualitativamente e marque \tau_{\text{cola}}.

Passo 8

Resumo final e pedido de dados (o que eu preciso para te dar o número já pronto).
Para calcular numericamente \,w_{0,\max} e desenhar a distribuição numérica da tensão de cisalhamento preciso que você me envie (sem me perguntar nada a mais, apenas colar os valores aqui):
  • Dimensões da seção dos canais U (espessuras, larguras de flanges e alma, alturas), ou uma figura com medidas.
  • Informação precisa sobre as linhas de cola A e B: localização exata na seção e largura de cola no sentido fora do plano b (ou confirmar que a largura é \,12\\ \mathrm{mm} por linha).
  • Comprimento da viga L e condições de apoio.
  • Especificação exata do carregamento triangular (onde está o pico w_0 e onde é zero).
    Com esses dados eu executo os passos numéricos e te devolvo w_{0,\max} e o desenho da distribuição da tensão cisalhante.

Resposta

Não é possível determinar numericamente w_{0} com os dados fornecidos: faltam a geometria completa da seção (dimensões do canal U e posição/ largura efetiva da cola), o comprimento e as condições de apoio da viga e a definição precisa do carregamento triangular.

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