O elemento consiste em dois canais U de plástico com 12 mm de espessura colados em A e B. Se a cola puder suportar uma tensão de cisalhamento admissível de
, determine a intensidade máxima
do carregamento distribuido triangular que pode ser aplicado ao elemento tomando como base a resistência da cola. Para este carregamento desenhe a distribuição de tensão cisalhante da seção critica que ocorre no plástico.
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Dois canais
de plástico colados nas linhas e . - Espessura do plástico (provavelmente da parede do canal):
. - Tensão admissível na cola (cisalhamento):
O que o enunciado pede:
- Determinar a intensidade máxima
do carregamento distribuído triangular que pode ser aplicado, tomando como base a resistência da cola. - Para esse carregamento, desenhar (descrever) a distribuição da tensão cisalhante na seção crítica que ocorre no plástico.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico de
:
- Geometria completa da seção (dimensões externas dos canais
, localização exata das linhas de cola e , largura fora do plano — isto é, a largura efetiva de cola num comprimento unitário). - Condições de apoio e o comprimento da viga
(simplesmente apoiada? engastada?). - Precisão do carregamento triangular (começa com intensidade
em uma extremidade e vai a zero na outra? ao longo de todo o vão?). - Localização da seção crítica (em muitos problemas é junto a uma linha de cola, num apoio ou no meio do vão).
Sem esses dados geométricos e de apoio não é possível calcular numericamente. A seguir explico passo a passo como proceder assim que esses dados estiverem disponíveis — a resolução que você poderá aplicar na prova.
Passo 2
Estratégia geral (resumo dos passos que vamos executar numericamente quando tivermos os dados):
- Calcular a força cortante
na seção crítica em função de . Para cargas triangulares será linear em : podemos escrever onde depende só da geometria do carregamento e do apoio (por exemplo tem dimensão de comprimento quadrado). - Calcular o fluxo de cisalhamento
na interface cola/plástico usando a fórmula clássica do cisalhamento em seções compostas:
onde:
-
é a força cortante na seção (N), -
é o primeiro momento de área da parte do corpo que fica acima (ou abaixo) da linha onde se calcula o cisalhamento (unidade ), -
é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro (unidade ).
- Converter o fluxo de cisalhamento
em tensão de cisalhamento na cola dividindo pelo «comprimento de cola» efetivo no sentido fora do plano (largura de adesão) :
Se houver duas linhas de cola (A e B) que compartilham a transmissão de cisalhamento igualmente, o fluxo por linha será metade e a tensão em cada linha será
. Atenção: é preciso saber como a cola está distribuída no plano fora do desenho (largura do conjunto colado).
4. Impor a condição e resolver para
. Como
é proporcional a
,
será proporcional a
e daí vem uma expressão simples para
.
4. Impor a condição
Esses são os passos fundamentais. Agora eu explico cada fórmula e conceito com calma, para você poder aplicar na prova.
Passo 3
Entendendo a força cortante
resultante do carregamento triangular (como calcular
em função de
).
Exemplo típico (muito usado em provas): viga simplesmente apoiada de comprimento
com carregamento triangular que tem intensidade
na extremidade esquerda (
) e decresce linearmente até zero na extremidade direita (
), ou seja
- Força resultante total:
- Braço da força (posição do resultado em relação à ponta com
):
- Reações nos apoios (para viga simplesmente apoiada, com o ponto
à esquerda):
- Força cortante à esquerda de uma seção situada em
(medida a partir da extremidade com ):
Observe que
é proporcional a
. Em geral podemos escrever para a seção crítica
:
onde o coeficiente
depende só de
e da posição
. Em outras condições de contorno (apoios diferentes) você obtém outro
, mas a ideia é a mesma: determine primeiro
em termos de
.
Passo 4
Entendendo o fluxo de cisalhamento
e a relação com a tensão na cola.
- O fluxo de cisalhamento
(em N/m — força por unidade de largura fora do plano) na interface causada pela força cortante é dado por
Explicando
e
de forma prática:
-
é o momento de inércia da seção composta inteira (do conjunto dos dois canais colados) em relação ao eixo neutro. Para seções compostas calcula-se somando os momentos de inércia das partes com o teorema do eixo paralelo quando necessário. -
é o primeiro momento da área da parte que está do lado onde se calcula o cisalhamento. Por exemplo, se a cola está na junção entre flange inferior e corpo da seção e a parte «acima» dessa junção tem área , então
onde
é a distância entre o centroide da área acima e o eixo neutro.
- Para obter a tensão de cisalhamento média na cola, divide-se o fluxo
pela largura efetiva de cola (unidade ):
Se existem duas linhas de cola que vão dividir a transmissão de cisalhamento igualmente, o fluxo por linha será
e a tensão em cada linha será
. Então atenção: saber se a cola está só numa linha ou em duas (A e B) muda o
do denominador.
- Condição de segurança:
Como
é proporcional a
, escrevemos
e substituímos:
Portanto o máximo admissível é
onde:
-
é o coeficiente que dá por unidade de (obtido do passo 3), -
e são propriedades geométricas da seção (obtidas com os dados geométricos), -
é a largura efetiva de cola (ou se houver duas linhas com mesma largura e elas dividirem igualmente).
Observação prática: todos os termos à direita (exceto
) dependem só da geometria;
é dado. Assim você terá uma fórmula direta para calcular
.
Passo 5
Como calcular
e
na prática (passos que você terá de executar com as dimensões):
- Divida a seção composta em retângulos simples (paredes do canal, flanges, etc.). Para cada retângulo compute:
- Área
. - Centroide
relativamente ao eixo neutro da seção total (primeiro encontre o eixo neutro através de quando tomar referência adequada). - Momento de inércia local
em relação ao centroide do retângulo. - Use o teorema do eixo paralelo:
, onde é a distância entre o centroide do retângulo e o eixo neutro.
- Área
- Some para obter
. - Para
escolha a parte da seção «acima» (ou «abaixo») da linha de cola e calcule relativo ao eixo neutro (a distância do centroide de cada peça até o eixo neutro).
Esses cálculos são rotineiros em provas; faça-os com cuidado e sem pular etapas.
Passo 6
Distribuição da tensão cisalhante na seção crítica (como desenhar / descrever).
- Para a seção transversal do plástico a tensão cisalhante longitudinal
(variação ao longo da altura ) obedece à fórmula:
onde
é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) do ponto considerado, e
é a largura local da seção naquele plano.
- Em seções retangulares simples
tem forma aproximadamente parabolóide (zero nas fibras externas, máximo próximo do eixo neutro). Para seções compostas o perfil pode ser diferente por partes, mas a ideia é a mesma: máximo próximo ao eixo neutro. - Na interface cola/plástico a tensão de cisalhamento que realmente interessa é a tensão média transmitida pela cola, que calculamos através de
(valor que deve ser comparado com ). Se houver duas linhas de cola, cada linha receberá uma parte do fluxo; portanto o desenho da distribuição de tensão cisalhante na seção crítica deve mostrar: - Curva da
no plástico (zero nas bordas, máxima na vizinhança do neutro). - Nos pontos de cola A e B, indicar a tensão média na cola (valor
calculado) e, se aplicável, que cada linha leva metade do fluxo (se esse for o caso).
- Curva da
- Em linguagem de prova: desenhe a seção transversal, marque o eixo neutro, trace uma curva que começa em zero na fibra extrema e cresce até o máximo no neutro; marque nas interfaces A e B as setas indicando cisalhamento transmitido pela cola e escreva o valor
.
Passo 7
Exemplo rápido (para você ver a aplicação numérica — não use estes números se sua viga tiver outras dimensões; é só para entender o processo):
Suponha:
- Viga simplesmente apoiada,
conhecido. - Seção tal que para a linha de cola escolhida foi calculado:
(m^4) e (m^3). - Largura total de cola
(m). - Coeficiente
encontrado do passo 3 (em N·s²/m³? melhor ver em unidades: se em N/m por unidade de comprimento, então tem dimensão ).
Então:
Procedimento na prova:
- Calcule
(use expressão analítica do passo 3). - Calcule
e com as dimensões dadas. - Meça/identifique
(largura de cola ou somatório das larguras se houver mais de uma linha). - Substitua tudo na fórmula e obtenha
. - Desenhe
qualitativamente e marque .
Passo 8
Resumo final e pedido de dados (o que eu preciso para te dar o número já pronto).
Para calcular numericamente e desenhar a distribuição numérica da tensão de cisalhamento preciso que você me envie (sem me perguntar nada a mais, apenas colar os valores aqui):
Para calcular numericamente
- Dimensões da seção dos canais
(espessuras, larguras de flanges e alma, alturas), ou uma figura com medidas. - Informação precisa sobre as linhas de cola
e : localização exata na seção e largura de cola no sentido fora do plano (ou confirmar que a largura é por linha). - Comprimento da viga
e condições de apoio. - Especificação exata do carregamento triangular (onde está o pico
e onde é zero).
Com esses dados eu executo os passos numéricos e te devolvoe o desenho da distribuição da tensão cisalhante.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
com os dados fornecidos: faltam a geometria completa da seção (dimensões do canal
e posição/ largura efetiva da cola), o comprimento e as condições de apoio da viga e a definição precisa do carregamento triangular.