Elimine o parâmetro para encontar uma equação cartesiana das curvas
x=e^{t}-1, y=e^{2 t}, 0 \leq t \leq 1 . R: y=(x+1)^{2}, 0 \leq x \leq e-1

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x=e^{t}-1,\qquad y=e^{2t},\qquad 0\le t\le 1,
e pede para eliminar o parâmetro t e obter uma equação cartesiana da curva, indicando também o intervalo apropriado para x. Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões de x e y em função de t estão acima.
  • O parâmetro varia em 0\le t\le 1.
  • É preciso entregar uma relação entre x e y sem t e indicar a restrição sobre x correspondente ao intervalo de t.

Passo 2

Vamos usar propriedades dos exponenciais para ligar x e y. Uma propriedade básica é
e^{2t}=(e^{t})^{2}.
Isso vem da regra dos expoentes e^{a+b}=e^{a}e^{b} aplicada com a=t e b=t. Então y=e^{2t} pode ser reescrito em função de e^{t} como
y=(e^{t})^{2}.
Explicar essa propriedade é útil: elevar e ao dobro do expoente é o mesmo que elevar e^{t} ao quadrado.

Passo 3

A partir de x=e^{t}-1 isolamos e^{t}. Basta somar 1 aos dois lados:
e^{t}=x+1.
Aqui é importante notar que e^{t}>0 para todo t, portanto x+1>0, isto é, x>-1. Mais adiante vamos ajustar esse intervalo com o valor real de t dado.

Passo 4

Substituímos e^{t}=x+1 na expressão que obtivemos para y no Passo 2:
y=(e^{t})^{2}=(x+1)^{2}.
Esta é a equação cartesiana da curva obtida eliminando t. Para entender por que isto é válido: trocamos a forma paramétrica por uma relação direta entre x e y usando a identidade exponencial e a expressão de x.

Passo 5

Outra forma equivalente de ver o passo anterior é usando logaritmo natural: de e^{t}=x+1 obtemos t=\ln(x+1) (válido quando x+1>0); então
y=e^{2t}=e^{2\ln(x+1)}.
Usando a propriedade e^{\ln u}=u e e^{a\ln u}=u^{a}, temos y=(x+1)^{2}. Isto confirma o resultado do Passo 4 por um caminho alternativo.

Passo 6

Agora achamos o intervalo de x correspondente a 0\le t\le 1. Avaliando x=e^{t}-1 nas extremidades:
t=0\implies x=e^{0}-1=1-1=0,
t=1\implies x=e^{1}-1=e-1.
Além disso dx/dt=e^{t}>0 para todo t, então x é estritamente crescente em t e o intervalo de x correspondente é precisamente
0\le x\le e-1.
Como verificação, ao substituir esses x em y=(x+1)^{2} obtemos y variando de 1 a e^{2}, que coincide com y=e^{2t} para t em [0,1].

Resposta

y=(x+1)^{2},\quad 0\le x\le e-1

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