Elimine o parâmetro para encontar uma equação cartesiana das curvas
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede para eliminar o parâmetro
e obter uma equação cartesiana da curva, indicando também o intervalo apropriado para
. Informações relevantes fornecidas:
- As expressões de
e em função de estão acima. - O parâmetro varia em
. - É preciso entregar uma relação entre
e sem e indicar a restrição sobre correspondente ao intervalo de .
Passo 2
Vamos usar propriedades dos exponenciais para ligar
e
. Uma propriedade básica é
Isso vem da regra dos expoentes
aplicada com
e
. Então
pode ser reescrito em função de
como
Explicar essa propriedade é útil: elevar
ao dobro do expoente é o mesmo que elevar
ao quadrado.
Passo 3
A partir de
isolamos
. Basta somar
aos dois lados:
Aqui é importante notar que
para todo
, portanto
, isto é,
. Mais adiante vamos ajustar esse intervalo com o valor real de
dado.
Passo 4
Substituímos
na expressão que obtivemos para
no Passo 2:
Esta é a equação cartesiana da curva obtida eliminando
. Para entender por que isto é válido: trocamos a forma paramétrica por uma relação direta entre
e
usando a identidade exponencial e a expressão de
.
Passo 5
Outra forma equivalente de ver o passo anterior é usando logaritmo natural: de
obtemos
(válido quando
); então
Usando a propriedade
e
, temos
. Isto confirma o resultado do Passo 4 por um caminho alternativo.
Passo 6
Agora achamos o intervalo de
correspondente a
. Avaliando
nas extremidades:
Além disso
para todo
, então
é estritamente crescente em
e o intervalo de
correspondente é precisamente
Como verificação, ao substituir esses
em
obtemos
variando de
a
, que coincide com
para
em
.