1. Uma empresa está considerando investir numa pequena operação subsidiária. Esta proposta requererá um gasto inicial de \mathrm{R} \ 90.000,00 u.m. para equipamento e um adicional de \10.000,00 para capital de giro. Foi suposto que o investimento terá a duração de 15 anos, data em que o equipamento será vendido por um valor residual líquido de $10.000,00. A empresa espera vender 7.000 unidades por ano, a um preço de $12,00 cada. Os custos variáveis por unidade são calculados em $10,00. Se a empresa pretende um retorno de, pelo menos, 10 \% a.a. antes dos impostos, esta proposta é lucrativa? Justique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Gasto inicial para equipamento: \mathrm{R}\$\,90{.}000,00.
  • Capital de giro adicional no início: \mathrm{R}\$\,10{.}000,00.
  • Vida do projeto: 15 anos.
  • Valor residual (venda do equipamento) no fim do ano 15: \mathrm{R}\$\,10{.}000,00.
  • Vendas esperadas: 7{.}000 unidades por ano.
  • Preço por unidade: \mathrm{R}\$\,12{,}00.
  • Custo variável por unidade: \mathrm{R}\$\,10{,}00.
  • Taxa mínima exigida de retorno (desconto): 10\% ao ano ( r=10\%), antes dos impostos.
  • Pergunta: a proposta é lucrativa (ou seja, aceita-se o projeto) considerando a taxa exigida de 10\%? Justifique.

Passo 2

Calcular as receitas, custos e o fluxo de caixa operacional anual (antes de impostos).
  • Receita anual:
\text{Receita} = 7{.}000 \times \mathrm{R}\$\,12{,}00 = \mathrm{R}\$\,84{.}000{,}00.
  • Custo variável anual:
\text{Custo variável} = 7{.}000 \times \mathrm{R}\$\,10{,}00 = \mathrm{R}\$\,70{.}000{,}00.á
  • Fluxo de caixa operacional anual (receita menos custos variáveis; não há outros custos fixos informados):
\text{CF}_{\text{op}} = \mathrm{R}\$\,84{.}000{,}00 - \mathrm{R}\$\,70{.}000{,}00 = \mathrm{R}\$\,14{.}000{,}00.
Explicação curta: esse \text{CF}_{\text{op}} é o dinheiro que entra anualmente da operação, já que o enunciado não informou impostos nem custos fixos. Estamos trabalhando “antes dos impostos”, como pedido.

Passo 3

Identificar desembolso inicial e fluxos no último ano.
  • Desembolso inicial no tempo zero ( t=0):
\text{Investimento inicial} = \mathrm{R}\$\,90{.}000{,}00 + \mathrm{R}\$\,10{.}000{,}00 = \mathrm{R}\$\,100{.}000{,}00.
Comentário: o capital de giro é desembolsado no início e normalmente é recuperado ao final do projeto.
  • Fluxo no último ano ( t=15):
    • Fluxo operacional normal em t=15: \mathrm{R}\$\,14{.}000{,}00.
    • Entrada adicional na liquidação: valor residual do equipamento \mathrm{R}\$\,10{.}000{,}00.
    • Recuperação do capital de giro: \mathrm{R}\$\,10{.}000{,}00.
      Portanto o fluxo no ano 15 será:
\text{CF}_{15} = \mathrm{R}\$\,14{.}000{,}00 + \mathrm{R}\$\,10{.}000{,}00 + \mathrm{R}\$\,10{.}000{,}00 = \mathrm{R}\$\,34{.}000{,}00.

Passo 4

Explicar o conceito e a fórmula que vamos usar (VPL / NPV) e a regra de decisão.
  • O Valor Presente Líquido (VPL, ou NPV) é a soma dos fluxos de caixa descontados à taxa exigida r. A regra é: aceitar o projeto se \mathrm{VPL} \ge 0 (projeto adiciona valor ao acionista).
  • Fórmula aplicada ao nosso caso (fluxos constantes de \mathrm{R}\$\,14{.}000 por 15 anos, com um adicional de \mathrm{R}\$\,20{.}000 no último ano além do fluxo operacional):
\mathrm{VPL} = -\mathrm{R}\$\,100{.}000{,}00 + \mathrm{R}\$\,14{.}000{,}00\cdot\text{PVIFA}(r=10\%,n=15) + \frac{\mathrm{R}\$\,20{.}000{,}00}{(1+0{,}10)^{15}}.
Aqui:
  • \text{PVIFA}(r,n) é o fator de valor presente de uma anuidade (soma dos descontos de 1 a n):
\text{PVIFA}(r,n)=\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}.
  • O termo \dfrac{\mathrm{R}\$\,20{.}000}{(1+r)^{15}} representa a venda do equipamento ( \mathrm{R}\$\,10{.}000) mais a recuperação do capital de giro ( \mathrm{R}\$\,10{.}000) trazidos a valor presente.

Passo 5

Calcular numericamente os fatores de desconto necessários.
  • Primeiro calcular (1+r)^{15} com r=10\%=0{,}10.
    Uma forma prática (sem calculadora de alta precisão) é usar potências conhecidas: (1{,}10)^{5}\approx 1{,}61051,\qquad (1{,}10)^{10}\approx 2{,}59374246,então (1{,}10)^{15}=(1{,}10)^{10}\cdot(1{,}10)^{5}\approx 2{,}59374246\times1{,}61051\approx 4{,}177248.
  • Assim (1{,}10)^{-15}\approx \frac{1}{4{,}177248}\approx 0{,}23939.
  • Agora o \text{PVIFA}: \text{PVIFA}(10\%,15)=\frac{1-(1{,}10)^{-15}}{0{,}10} \approx \frac{1-0{,}23939}{0{,}10}= \frac{0{,}76061}{0{,}10}=7{,}6061.

Passo 6

Calcular os valores presentes e o VPL.
  • Valor presente da anuidade de \mathrm{R}\$\,14{.}000{,}00:
\mathrm{PV}_{\text{anuidade}} = \mathrm{R}\$\,14{.}000{,}00 \times 7{,}6061 \approx \mathrm{R}\$\,106{.}485{,}40.
  • Valor presente dos \mathrm{R}\$\,20{.}000{,}00 recebidos no fim do ano 15:
\mathrm{PV}_{\text{terminal}} = \frac{\mathrm{R}\$\,20{.}000{,}00}{(1{,}10)^{15}} \approx \mathrm{R}\$\,20{.}000{,}00 \times 0{,}23939 \approx \mathrm{R}\$\,4{.}787{,}80.
  • Somando e subtraindo o investimento inicial:
\mathrm{VPL} \approx -\mathrm{R}\$\,100{.}000{,}00 + \mathrm{R}\$\,106{.}485{,}40 + \mathrm{R}\$\,4{.}787{,}80 = \mathrm{R}\$\,11{.}273{,}20.
Arredondando, \mathrm{VPL}\approx\mathrm{R}\$\,11{.}273{,}00.

Passo 7

Interpretação e decisão.
  • Como \mathrm{VPL}>0 (aproximadamente \mathrm{R}\$\,11{.}273{,}00), o projeto gera valor descontado à taxa mínima exigida de 10\% ao ano.
  • Regra prática: aceitar projetos com \mathrm{VPL}\ge0. Aqui, portanto, a proposta é lucrativa segundo o critério do VPL.

Resposta

Sim. \mathrm{VPL}\approx\mathrm{R}\$\,11{.}273{,}00

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