Uma empresa deseja selecionar profissionais para preencher cargos importantes que exigem liderança, iniciativa, flexibilidade e criatividade. Como o salário oferecido é muito bom, há um grande número de candidatos a serem entrevistados. Por outro lado, estima-se que somente 30 \% deles possuam esse tipo de perfil.
a) Qual a probabilidade de serem necessárias no máximo 4 entrevistas para que apareça o primeiro candidato com o perfil desejado?
b) Para encontrar 5 candidatos com o perfil desejado, qual a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Informação dada: a probabilidade de um candidato qualquer ter o perfil desejado é p=30\%, isto é, p=0,3.
  • Pressuposto implícito (usaremos): cada entrevista é independente e tem a mesma probabilidade p de sucesso.
  • Perguntas:
    (a) Qual a probabilidade de serem necessárias no máximo 4 entrevistas para que apareça o primeiro candidato com o perfil desejado?
    (b) Para encontrar 5 candidatos com o perfil desejado, qual a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas?

Passo 2

Entendendo a parte (a) — ideinha e variável aleatória:
  • Defina a variável X = número de entrevistas até obter o primeiro candidato com o perfil desejado (contando a entrevista que traz o sucesso).
  • A distribuição de X é a geométrica (a versão que conta o número de tentativas até o 1.º sucesso). A razão disso é simples: para que o primeiro sucesso ocorra exatamente em k entrevistas é preciso ter k-1 falhas seguidas e depois 1 sucesso.
  • A fórmula da probabilidade (pmf) é
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\dots
onde p é a probabilidade de sucesso em cada entrevista e (1-p) é a probabilidade de falha.

Passo 3

Cálculo da parte (a):
  • Queremos P(X\le 4), a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra em no máximo 4 entrevistas.
  • É mais fácil usar o complemento:
P(X\le 4)=1-P(X>4).
  • Ter X>4 significa que as primeiras 4 entrevistas foram todas falhas; isso tem probabilidade (1-p)^4.
  • Substituindo p=0,3 temos (1-p)=0,7 e
P(X\le 4)=1-(0,7)^4.
  • Calculemos 0,7^2=0,49 e 0,7^4=(0,49)^2=0,2401. Logo
P(X\le 4)=1-0,2401=0,7599.
  • Interpretação rápida: cerca de 75{,}99\% de chance de aparecer o primeiro candidato desejado em até 4 entrevistas — é relativamente alto porque p=0,3 não é tão pequeno.

Passo 4

Entendendo a parte (b) — ideinha e método mais simples:
  • Agora queremos a probabilidade de que, para encontrar r=5 candidatos com o perfil, sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas.
  • Seja N = número de entrevistas até obter o 5.º sucesso. Uma forma direta seria usar a distribuição binomial-negativa (negativa binomial), cuja pmf é
P(N=n)=\binom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{\,n-r},\qquad n=r,r+1,\dots
mas para calcular P(N\ge 8) existe um atalho prático e mais simples de computar: observar os primeiros 7 entrevistados.
  • Se após 7 entrevistas já tivermos pelo menos 5 sucessos, então o 5.º sucesso ocorreu em no máximo 7 entrevistas (ou seja N\le 7). Portanto
P(N\ge 8)=P(\text{em 7 entrevistas há no máximo 4 sucessos}).áá
  • A contagem de sucessos nas 7 entrevistas segue a distribuição binomial Y\sim\mathrm{Bin}(n=7,p=0,3). Assim
P(N\ge 8)=P(Y\le 4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{7}{k}p^{k}(1-p)^{7-k}.

Passo 5

Cálculo da parte (b) — somando os termos do binomial:
  • Vamos calcular cada termo com p=0,3 e (1-p)=0,7.
k=0:
\binom{7}{0}0,3^{0}0,7^{7}=0,7^{7}\approx 0,0823543.
k=1:
\binom{7}{1}0,3^{1}0,7^{6}=7\cdot0,3\cdot0,7^{6}\approx 0,2470629.
k=2:
\binom{7}{2}0,3^{2}0,7^{5}=21\cdot0,09\cdot0,7^{5}\approx 0,3176523.
k=3:
\binom{7}{3}0,3^{3}0,7^{4}=35\cdot0,027\cdot0,7^{4}\approx 0,2268945.
k=4:
\binom{7}{4}0,3^{4}0,7^{3}=35\cdot0,0081\cdot0,7^{3}\approx 0,0972405.
  • Somando os termos:
P(N\ge 8)=0,0823543+0,2470629+0,3176523+0,2268945+0,0972405\approx 0,9712045.
  • Arredondando, P(N\ge 8)\approx 0,9712, isto é, cerca de 97{,}12\%.
  • Intuição: como a média de entrevistas necessárias para 5 sucessos é 5/p\approx16{,}67, é bem provável que sejam necessárias muitas entrevistas; por isso a probabilidade de precisar de pelo menos 8 entrevistas é alta.

Resposta

(a) 0,7599
(b) 0,9712

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