Uma empresa deseja selecionar profissionais para preencher cargos importantes que exigem liderança, iniciativa, flexibilidade e criatividade. Como o salário oferecido é muito bom, há um grande número de candidatos a serem entrevistados. Por outro lado, estima-se que somente
deles possuam esse tipo de perfil.
a) Qual a probabilidade de serem necessárias no máximo 4 entrevistas para que apareça o primeiro candidato com o perfil desejado?
b) Para encontrar 5 candidatos com o perfil desejado, qual a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas?
a) Qual a probabilidade de serem necessárias no máximo 4 entrevistas para que apareça o primeiro candidato com o perfil desejado?
b) Para encontrar 5 candidatos com o perfil desejado, qual a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Informação dada: a probabilidade de um candidato qualquer ter o perfil desejado é
, isto é, . - Pressuposto implícito (usaremos): cada entrevista é independente e tem a mesma probabilidade
de sucesso. - Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de serem necessárias no máximo 4 entrevistas para que apareça o primeiro candidato com o perfil desejado?
(b) Para encontrar 5 candidatos com o perfil desejado, qual a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas?
Passo 2
Entendendo a parte (a) — ideinha e variável aleatória:
- Defina a variável
= número de entrevistas até obter o primeiro candidato com o perfil desejado (contando a entrevista que traz o sucesso). - A distribuição de
é a geométrica (a versão que conta o número de tentativas até o 1.º sucesso). A razão disso é simples: para que o primeiro sucesso ocorra exatamente em entrevistas é preciso ter falhas seguidas e depois 1 sucesso. - A fórmula da probabilidade (pmf) é
onde
é a probabilidade de sucesso em cada entrevista e
é a probabilidade de falha.
Passo 3
Cálculo da parte (a):
- Queremos
, a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra em no máximo 4 entrevistas. - É mais fácil usar o complemento:
- Ter
significa que as primeiras 4 entrevistas foram todas falhas; isso tem probabilidade . - Substituindo
temos e
- Calculemos
e . Logo
- Interpretação rápida: cerca de
de chance de aparecer o primeiro candidato desejado em até 4 entrevistas — é relativamente alto porque não é tão pequeno.
Passo 4
Entendendo a parte (b) — ideinha e método mais simples:
- Agora queremos a probabilidade de que, para encontrar
candidatos com o perfil, sejam necessárias pelo menos 8 entrevistas. - Seja
= número de entrevistas até obter o 5.º sucesso. Uma forma direta seria usar a distribuição binomial-negativa (negativa binomial), cuja pmf é
mas para calcular
existe um atalho prático e mais simples de computar: observar os primeiros 7 entrevistados.
- Se após 7 entrevistas já tivermos pelo menos 5 sucessos, então o 5.º sucesso ocorreu em no máximo 7 entrevistas (ou seja
). Portanto
- A contagem de sucessos nas 7 entrevistas segue a distribuição binomial
. Assim
Passo 5
Cálculo da parte (b) — somando os termos do binomial:
- Vamos calcular cada termo com
e .
k=0:
k=1:
k=2:
k=3:
k=4:
- Somando os termos:
- Arredondando,
, isto é, cerca de . - Intuição: como a média de entrevistas necessárias para 5 sucessos é
, é bem provável que sejam necessárias muitas entrevistas; por isso a probabilidade de precisar de pelo menos 8 entrevistas é alta.
Resposta
(a)
(b)