9)Uma empresa está estudando produzir um novo produto para o qual são considerados os seguintes elementos:
Preço unitário de venda: $20.000
Custo do equipamento: \ 15.000 .000$
Custos indiretos anuais: \ 7.000 .000$
Custos de operação e manutenção: $40.000/hora
Tempo de produção / 1000 unidades: 100 horas
Vida de serviços: 10 anos
Taxa Mínima de atratividade: 12% a.a.
Valor residual dos equipamentos no final da vida de serviço: nulo
Qual é a produção a partir da qual começa a haver lucro? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (todos os números entre conforme combinado) e o que é pedido.
  • Preço unitário de venda: p=\$20000.
  • Custo do equipamento (investimento inicial): P=\$15000000.
  • Custos indiretos anuais (fixos): C_{\text{ind}}=\$7000000 por ano.
  • Custo de operação e manutenção: \$40000 por hora.
  • Tempo de produção: 100 horas para 1000 unidades.
  • Vida de serviço do equipamento: n=10 anos.
  • Taxa mínima de atratividade (MARR): i=12\%\\ \text{a.a.}=0{,}12.
  • Valor residual ao final: 0.
  • O que se pede: “Qual é a produção a partir da qual começa a haver lucro?” — ou seja, qual é a produção anual mínima tal que a operação comece a cobrir todos os custos (fixos, capital e variáveis) e gere lucro.

Passo 2

Planejamento do que vamos calcular (sem resolver ainda): para saber quando há lucro precisamos comparar receitas e custos anuais. Há três tipos de custos aqui:
  • custo fixo anual associado ao equipamento (transformar o investimento inicial numa carga anual usando fator de recuperação),
  • custos indiretos anuais já dados (fixos),
  • custos variáveis que dependem da produção (custos de operação e manutenção, aqui dados por hora).
A partir disso, definimos a condição de equilíbrio (ponto de indiferença): receita anual = custos anuais totais. A produção além desse ponto gera lucro. Agora vamos calcular cada peça.

Passo 3

Encontrar o custo anual equivalente do equipamento (recuperação de capital). A fórmula do pagamento anual equivalente A para um investimento único P com taxa i e vida n é:
A = P\cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Essa fração é o fator de recuperação de capital (CRF). Explicando a fórmula, intuitivamente: é o valor de uma anuidade que, avaliada ao valor presente, equivale a P. Aqui P=\$15000000, i=0{,}12 e n=10.
Calculemos (1+i)^n:
(1+i)^n = (1{,}12)^{10} \approx 3{,}106\quad(\text{aproximação suficiente para as contas à mão}).çãàã
Agora o fator:
\text{CRF}=\frac{0{,}12\cdot 3{,}106}{3{,}106-1}=\frac{0{,}37272}{2{,}106}\approx 0{,}1770.
Logo o custo anual equivalente do equipamento é
A_{\text{cap}} = P\cdot\text{CRF}=\$15000000\times 0{,}1770\approx \$2655000.
Interpretação prática: para “pagar” o equipamento considerando juros e vida útil, precisa-se de cerca de \$2{.}655{.}000 por ano.

Passo 4

Calcular o custo variável por unidade a partir de horas de produção e custo por hora.
Temos 100 horas para 1000 unidades, então horas por unidade:
\text{horas por unidade}=\frac{100}{1000}=0{,}1\\ \text{h/unidade}.
Custo de operação e manutenção por hora: \$40000. Então custo variável por unidade:
c_{\text{var}} = 40000\times 0{,}1=\$4000\\ \text{por unidade}.
Esse é o custo que cresce linearmente com a produção.

Passo 5

Calcular a contribuição por unidade (margem que sobra para cobrir os custos fixos):
Preço por unidade p=\$20000, custo variável por unidade c_{\text{var}}=\$4000. Então contribuição (preço menos custo variável) é
m = p - c_{\text{var}} = 20000 - 4000 = \$16000\\ \text{por unidade}.
Cada unidade vendida contribui com \$16000 para pagar os custos fixos anuais e, depois de cobertos, para gerar lucro.

Passo 6

Montar a equação de equilíbrio anual: receita menos custos variáveis deve cobrir custos fixos anuais (capital + indiretos). Seja Q a produção anual (unidades/ano). Então a condição de equilíbrio é
m\cdot Q = A_{\text{cap}} + C_{\text{ind}}.
Isolando Q:
Q^* = \frac{A_{\text{cap}} + C_{\text{ind}}}{m}.
Substituindo os números que já calculamos:
A_{\text{cap}}\approx \$2655000,\qquad C_{\text{ind}}=\$7000000,\qquad m=\$16000.
Então
Q^*=\frac{2655000+7000000}{16000}=\frac{9655000}{16000}\approx 603{,}4375\\ \text{unidades/ano}.

Passo 7

Interpretação prática e arredondamento: como produção é em unidades inteiras, para começar a haver lucro é necessário produzir uma unidade a mais que o ponto de equilíbrio estrito. Assim:
  • se produzir 603 unidades/ano haverá ainda um pequeno prejuízo;
  • se produzir 604 unidades/ano já haverá lucro (mesmo que pequeno).
Também podemos traduzir isso em horas: horas por unidade =0{,}1 h/un, então para 604 unidades/ano são 60{,}4 horas/ano de produção — um número pequeno, só para referência.
Força final de incentivo: chegou até aqui — agora você sabe exatamente como montar e calcular um ponto de equilíbrio econômico quando há investimento de capital envolvido. Dá para aplicar o mesmo raciocínio em outros problemas trocando os números 😃

Resposta

604\\ \text{unidades por ano}