Encontrar a dimensão dos sequintes espaços:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço
.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- O espaço em questão é o conjunto dos números complexos, denotado por
. - O enunciado não especifica sobre qual corpo (field) estamos vendo
como espaço vetorial. Observação importante: a dimensão de um espaço vetorial depende do corpo sobre o qual ele é considerado. Portanto, resultados diferentes são possíveis dependendo se consideramos como espaço vetorial sobre , sobre ou sobre .
As perguntas que vou responder explicitamente, para cobrir os casos mais comuns, são:
- Qual é
? - Qual é
? - Qual é
?
Passo 2
Conceitos básicos (mini-aula): o que é dimensão e base de um espaço vetorial. Vou explicar passo a passo, devagar e com exemplos simples.
-
Definição de espaço vetorial: um conjunto
com duas operações (adição de vetores e multiplicação por escalares) satisfazendo certas propriedades. O corpo (field) de escalares é importante: escrevemos como espaço vetorial sobre um corpo e escrevemos para a dimensão. -
Combinações lineares e span: dados vetores
e escalares , uma combinação linear é . O subespaço gerado (span) deles é o conjunto de todas essas combinações. -
Independência linear: vetores
são linearmente independentes (sobre ) se a única solução para
com
é
.
- Base: um conjunto
é base se é linearmente independente e seu span é todo . A dimensão é o número de vetores em uma base quando existe uma base finita; se não existe base finita dizemos que o espaço é infinito-dimensional e escrevemos .
Exemplo rápido e intuitivo:
-
sobre tem base e . - Qualquer corpo
visto como espaço vetorial sobre ele mesmo tem dimensão (base ).
Passo 3
Calcular
(isto é, ver
como espaço vetorial sobre o corpo
).
-
Mostro que
é uma base de sobre . Primeiro, span: para qualquerexiste tal que Logo. Segundo, independência linear: secom , então . Portanto é linearmente independente. -
Conclusão:
é base e tem um único vetor, então
Dica de prova curta para a prova: sempre que o conjunto de escalares é exatamente o corpo dos números do espaço, o número 1 costuma formar uma base única-dimensão, porque cada elemento do espaço é escalar vezes 1.
Passo 4
Calcular
(isto é, ver
como espaço vetorial sobre
).
-
Proponho o conjunto
e vou mostrar que é base sobre . Span: qualquerpode ser escrito como com . Então que é uma combinação linear com coeficientes reais. Assim. Independência linear sobre: suponha que existam tais que O lado esquerdo é o número complexo. Para que é necessário e suficiente que e . Logo são linearmente independentes. -
Portanto
é uma base com dois vetores, e
Dica prática para prova: quando o campo dos escalares é
, pense em separar a parte real e imaginária; isso geralmente dá uma base de tamanho 2.
Passo 5
Calcular
(isto é, ver
como espaço vetorial sobre
).
-
Primeiro objetivo: mostrar que não existe base finita sobre
, ou seja, não é finita. -
Argumento por contagem (muito usado e direto): se um espaço vetorial
sobre tivesse dimensão finita , então todo vetor em seria combinação linear finita de vetores com coeficientes em . O conjunto de todas as combinações possíveis é injetivamente parametrizado por . Mas é contável (produto finito de conjuntos contáveis é contável). Logo o subespaço gerado por vetores é contável. Por outro lado,é não contável (tem cardinalidade do contínuo). Portanto não pode ser escrito como união de um conjunto contável de combinações racionais de um número finito de vetores; assim não existe base finita sobre . -
Conclusão:
é infinito. (Mais: na realidade existe uma base de Hamel de sobre cujo cardinal é o cardinal do contínuo, mas provar isso exige teoria de cardinais e o axioma da escolha — para a prova de graduação normalmente basta mostrar que é infinito.)
Dica de prova rápida: se alguém tenta argumentar que basta dois vetores sobre
, responda com o argumento cardinal: combinações racionais de finitamente muitos vetores formam conjunto contável;
é incontável.
Passo 6
Resumo final e orientação para a prova (como escrever a resposta de forma clara e sem ambiguidade):
- Sempre, na prova, especifique sobre qual corpo está calculando a dimensão. Escreva
. - Se o enunciado não especificar, vale responder apontando as interpretações possíveis (normalmente esperam
ou ) e justificar qual você está usando.