Encontrar a dimensão dos sequintes espaços:
\mathbb{C};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço \mathbb{C}.
Informações dadas (explicitadas):
  • O espaço em questão é o conjunto dos números complexos, denotado por \mathbb{C}.
  • O enunciado não especifica sobre qual corpo (field) estamos vendo \mathbb{C} como espaço vetorial. Observação importante: a dimensão de um espaço vetorial depende do corpo sobre o qual ele é considerado. Portanto, resultados diferentes são possíveis dependendo se consideramos \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{C}, sobre \mathbb{R} ou sobre \mathbb{Q}.
    As perguntas que vou responder explicitamente, para cobrir os casos mais comuns, são:
  1. Qual é \dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})?
  2. Qual é \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})?
  3. Qual é \dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C})?

Passo 2

Conceitos básicos (mini-aula): o que é dimensão e base de um espaço vetorial. Vou explicar passo a passo, devagar e com exemplos simples.
  • Definição de espaço vetorial: um conjunto V com duas operações (adição de vetores e multiplicação por escalares) satisfazendo certas propriedades. O corpo (field) de escalares é importante: escrevemos V como espaço vetorial sobre um corpo F e escrevemos \dim_F(V) para a dimensão.
  • Combinações lineares e span: dados vetores v_1,\dots,v_k\in V e escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k\in F, uma combinação linear é \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k. O subespaço gerado (span) deles é o conjunto de todas essas combinações.
  • Independência linear: vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes (sobre F) se a única solução para
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k = 0
com \alpha_i\in F é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Base: um conjunto B\subset V é base se é linearmente independente e seu span é todo V. A dimensão é o número de vetores em uma base quando existe uma base finita; se não existe base finita dizemos que o espaço é infinito-dimensional e escrevemos \dim_F(V)=\infty.
Exemplo rápido e intuitivo:
  • \mathbb{R}^2 sobre \mathbb{R} tem base \{(1,0),(0,1)\} e \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^2)=2.
  • Qualquer corpo F visto como espaço vetorial sobre ele mesmo tem dimensão 1 (base \{1\}).

Passo 3

Calcular \dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}) (isto é, ver \mathbb{C} como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{C}).
  • Mostro que \{1\} é uma base de \mathbb{C} sobre \mathbb{C}.
    Primeiro, span: para qualquer z\in\mathbb{C} existe \alpha=z\in\mathbb{C} tal que
    z = \alpha\cdot 1.
    Logo \mathrm{span}\{1\}=\mathbb{C}.
    Segundo, independência linear: se \beta\cdot 1 = 0 com \beta\in\mathbb{C}, então \beta=0. Portanto \{1\} é linearmente independente.
  • Conclusão: \{1\} é base e tem um único vetor, então
\dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1.
Dica de prova curta para a prova: sempre que o conjunto de escalares é exatamente o corpo dos números do espaço, o número 1 costuma formar uma base única-dimensão, porque cada elemento do espaço é escalar vezes 1.

Passo 4

Calcular \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) (isto é, ver \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R}).
  • Proponho o conjunto \{1,i\} e vou mostrar que é base sobre \mathbb{R}.
    Span: qualquer z\in\mathbb{C} pode ser escrito como z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}. Então
    z = a\cdot 1 + b\cdot i,
    que é uma combinação linear com coeficientes reais. Assim \mathrm{span}_{\mathbb{R}}\{1,i\}=\mathbb{C}.
    Independência linear sobre \mathbb{R}: suponha que existam r,s\in\mathbb{R} tais que
    r\cdot 1 + s\cdot i = 0.
    O lado esquerdo é o número complexo r + s i. Para que r + s i = 0 é necessário e suficiente que r=0 e s=0. Logo são linearmente independentes.
  • Portanto \{1,i\} é uma base com dois vetores, e
\dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2.
Dica prática para prova: quando o campo dos escalares é \mathbb{R}, pense em separar a parte real e imaginária; isso geralmente dá uma base de tamanho 2.

Passo 5

Calcular \dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) (isto é, ver \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{Q}).
  • Primeiro objetivo: mostrar que não existe base finita sobre \mathbb{Q}, ou seja, \dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) não é finita.
  • Argumento por contagem (muito usado e direto): se um espaço vetorial V sobre \mathbb{Q} tivesse dimensão finita n, então todo vetor em V seria combinação linear finita de n vetores com coeficientes em \mathbb{Q}. O conjunto de todas as combinações possíveis é injetivamente parametrizado por \mathbb{Q}^n. Mas \mathbb{Q}^n é contável (produto finito de conjuntos contáveis é contável). Logo o subespaço gerado por n vetores é contável.
    Por outro lado, \mathbb{C} é não contável (tem cardinalidade do contínuo). Portanto \mathbb{C} não pode ser escrito como união de um conjunto contável de combinações racionais de um número finito de vetores; assim não existe base finita sobre \mathbb{Q}.
  • Conclusão: \dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) é infinito. (Mais: na realidade existe uma base de Hamel de \mathbb{C} sobre \mathbb{Q} cujo cardinal é o cardinal do contínuo, mas provar isso exige teoria de cardinais e o axioma da escolha — para a prova de graduação normalmente basta mostrar que é infinito.)
Dica de prova rápida: se alguém tenta argumentar que basta dois vetores sobre \mathbb{Q}, responda com o argumento cardinal: combinações racionais de finitamente muitos vetores formam conjunto contável; \mathbb{C} é incontável.

Passo 6

Resumo final e orientação para a prova (como escrever a resposta de forma clara e sem ambiguidade):
  • Sempre, na prova, especifique sobre qual corpo está calculando a dimensão. Escreva \dim_{F}(\mathbb{C})=\dots.
  • Se o enunciado não especificar, vale responder apontando as interpretações possíveis (normalmente esperam \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2 ou \dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1) e justificar qual você está usando.

Resposta

\dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1
\dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2
\dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C})=\infty

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