2- Encontrar a expressão das componentes esféricas e do valor absoluto do momento angular de uma partícula em coordenadas esféricas
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede: a expressão das componentes esféricas do momento angular e o valor absoluto (módulo) do momento angular de uma partícula descrita em coordenadas esféricas
. - Dados implícitos que vou usar:
- A partícula tem massa
. - As coordenadas são funções do tempo:
, , . - A base ortonormal esférica é
.
- A partícula tem massa
- Objetivo concreto: obter
escrito em componentes esféricas e então extrair e .
Passo 2
Escrever o vetor posição e construir a velocidade em coordenadas esféricas (passo necessário para obter
).
- O vetor posição no referencial esférico é
- A velocidade é a derivada temporal de
. Como depende de e , é preciso usar a regra da cadeia: - Primeiro, as derivadas parciais importantes (resultados padrão):
- Assim a derivada temporal de
é
- Primeiro, as derivadas parciais importantes (resultados padrão):
- Agora derive
:
Explicação curta das parcelas:
-
: variação radial. -
: componente de velocidade associada à variação de . -
: componente associada à variação de (deslocamento azimutal).
Passo 3
Calcular o momento linear
.
- Pelo enunciado, o momento linear é
. Substituindo a velocidade:
Passo 4
Definir as regras de produto vetorial na base esférica (para calcular
).
- Relações de base (orientação direita habitual):
- Assim também vale
Passo 5
Calcular o momento angular
explicitamente.
- Escrevendo
e , tem-se
- O termo com
é zero, sobram dois termos: - Usando as relações de base:
obtemos
Passo 6
Ler as componentes esféricas do vetor
(projeção em cada base).
- Projeção em
: porque o resultado acima não tem componente em . - Projeção em
: - Projeção em
: - Observação física curta:
significa que não há componente de momento angular na direção radial (pois e são paralelos); as componentes restantes vêm das velocidades angulares.
Passo 7
Calcular o valor absoluto (módulo)
.
- Primeiro calcule
usando que as componentes são perpendiculares (base ortonormal): - Simplificando,
- Portanto o módulo é
- Interpretação rápida: o módulo depende apenas das taxas angulares
e (e de ), como esperado — movimentos puramente radiais não contribuem para o momento angular.
Passo 8
Relação com os momentos canônicos (útil para provas/lagrangeanos, comentário prático).
- Definindo os momentos generalizados (do Lagrangeano cinético) costuma-se obter:
- Em particular
e o momento angular em (componente em direção ao eixo cartesiano ) é - Essas igualdades são úteis para ligar a expressão do momento angular às quantidades usadas em mecânica lagrangiana/hamiltoniana.