2- Encontrar a expressão das componentes esféricas e do valor absoluto do momento angular de uma partícula em coordenadas esféricas \mathrm{r}, \theta, \varphi.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: a expressão das componentes esféricas do momento angular e o valor absoluto (módulo) do momento angular de uma partícula descrita em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi).
  • Dados implícitos que vou usar:
    • A partícula tem massa m.
    • As coordenadas são funções do tempo: r=r(t), \theta=\theta(t), \varphi=\varphi(t).
    • A base ortonormal esférica é \{\hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi\}.
  • Objetivo concreto: obter \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \mathbf{r}\times(m\mathbf{v}) escrito em componentes esféricas e então extrair L_r, L_\theta, L_\varphi e |\mathbf{L}|.

Passo 2

Escrever o vetor posição e construir a velocidade em coordenadas esféricas (passo necessário para obter \mathbf{p}=m\mathbf{v}).
  • O vetor posição no referencial esférico é
\mathbf{r}=r\,\hat e_r.
  • A velocidade é a derivada temporal de \mathbf{r}. Como \hat e_r depende de \theta e \varphi, é preciso usar a regra da cadeia:
    • Primeiro, as derivadas parciais importantes (resultados padrão): \frac{\partial \hat e_r}{\partial \theta}=\hat e_\theta,\qquad \frac{\partial \hat e_r}{\partial \varphi}=\sin\theta\,\hat e_\varphi.
    • Assim a derivada temporal de \hat e_r é \dot{\hat e}_r=\dot\theta\,\hat e_\theta+\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi.
  • Agora derive \mathbf{r}:
\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=\dot r\,\hat e_r + r\,\dot{\hat e}_r = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi.
Explicação curta das parcelas:
  • \dot r\,\hat e_r: variação radial.
  • r\dot\theta\,\hat e_\theta: componente de velocidade associada à variação de \theta.
  • r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi: componente associada à variação de \varphi (deslocamento azimutal).

Passo 3

Calcular o momento linear \mathbf{p}.
  • Pelo enunciado, o momento linear é \mathbf{p}=m\mathbf{v}. Substituindo a velocidade:
\mathbf{p}=m\big(\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi\big).

Passo 4

Definir as regras de produto vetorial na base esférica (para calcular \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}).
  • Relações de base (orientação direita habitual): \hat e_r\times\hat e_\theta=\hat e_\varphi,\qquad \hat e_\theta\times\hat e_\varphi=\hat e_r,\qquad \hat e_\varphi\times\hat e_r=\hat e_\theta.
  • Assim também vale \hat e_r\times\hat e_\varphi=-\hat e_\theta.

Passo 5

Calcular o momento angular \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} explicitamente.
  • Escrevendo \mathbf{r}=r\hat e_r e \mathbf{p}=m(\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi), tem-se
\mathbf{L}=r\hat e_r\times m\big(\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi\big).
  • O termo com \hat e_r\times\hat e_r é zero, sobram dois termos: \mathbf{L}=m r\big[ r\dot\theta\,(\hat e_r\times\hat e_\theta) + r\sin\theta\,\dot\varphi\,(\hat e_r\times\hat e_\varphi)\big].
  • Usando as relações de base: \hat e_r\times\hat e_\theta=\hat e_\varphi,\qquad \hat e_r\times\hat e_\varphi=-\hat e_\theta,obtemos \mathbf{L}=m r\big[ r\dot\theta\,\hat e_\varphi + r\sin\theta\,\dot\varphi\,(-\hat e_\theta)\big] = m r^2\big(\dot\theta\,\hat e_\varphi - \sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\theta\big).

Passo 6

Ler as componentes esféricas do vetor \mathbf{L} (projeção em cada base).
  • Projeção em \hat e_r: L_r=\mathbf{L}\cdot\hat e_r=0,porque o resultado acima não tem componente em \hat e_r.
  • Projeção em \hat e_\theta: L_\theta=\mathbf{L}\cdot\hat e_\theta=-m r^2\sin\theta\,\dot\varphi.
  • Projeção em \hat e_\varphi: L_\varphi=\mathbf{L}\cdot\hat e_\varphi=m r^2\dot\theta.
  • Observação física curta: L_r=0 significa que não há componente de momento angular na direção radial (pois \mathbf{r} e \hat e_r são paralelos); as componentes restantes vêm das velocidades angulares.

Passo 7

Calcular o valor absoluto (módulo) |\mathbf{L}|.
  • Primeiro calcule |\mathbf{L}|^2 usando que as componentes são perpendiculares (base ortonormal): |\mathbf{L}|^2 = L_r^2 + L_\theta^2 + L_\varphi^2 = 0^2 + \big(-m r^2\sin\theta\,\dot\varphi\big)^2 + \big(m r^2\dot\theta\big)^2.
  • Simplificando, |\mathbf{L}|^2 = m^2 r^4\big(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2\big).
  • Portanto o módulo é |\mathbf{L}| = m r^2\sqrt{\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2}.
  • Interpretação rápida: o módulo depende apenas das taxas angulares \dot\theta e \dot\varphi (e de r), como esperado — movimentos puramente radiais (\dot r\neq0,\\ \dot\theta=\dot\varphi=0) não contribuem para o momento angular.

Passo 8

Relação com os momentos canônicos (útil para provas/lagrangeanos, comentário prático).
  • Definindo os momentos generalizados (do Lagrangeano cinético) costuma-se obter: p_\theta = m r^2\dot\theta,\qquad p_\varphi = m r^2\sin^2\theta\,\dot\varphi.
  • Em particular \;L_\varphi=p_\theta\; e o momento angular em z (componente em direção ao eixo cartesiano z) é L_z = p_\varphi = m r^2\sin^2\theta\,\dot\varphi.
  • Essas igualdades são úteis para ligar a expressão do momento angular às quantidades usadas em mecânica lagrangiana/hamiltoniana.

Resposta

L_r=0
L_\theta=-m r^{2}\sin\theta\,\dot\varphi
L_\varphi=m r^{2}\dot\theta
|\mathbf{L}|=m r^{2}\sqrt{\dot\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}}

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