Encontrar
de
dado por
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que se pede:
- Determinar
, o núcleo (conjunto dos vetores que vão para o vetor zero). - Determinar
, a imagem (conjunto dos vetores alcançáveis como ).
Informações relevantes dadas:
- A regra explícita de
para um vetor é . - Não há outras restrições; tudo acontece em
.
Passo 2
O que significa calcular núcleo e imagem (explicação didática e simples, passo a passo):
- Núcleo:
. Na prática, resolver o sistema linear obtido ao igualar cada componente de a zero. - Imagem:
. Um modo prático é escrever como matriz em relação à base canônica e tomar o espaço gerado (span) pelas colunas dessa matriz — isto é, a coluna-espaço (coluna coluna) da matriz.
Essas são receitas diretas que dão método concreto para a prova.
Passo 3
Calcular o núcleo resolvendo
Vamos resolver de forma elementar:
- Da primeira equação
- Então.
Logo o único vetor que vai para zero é o vetor nulo. Portanto
Comentário didático: encontrar apenas a solução trivial significa que
é injetora (nenhum vetor não nulo é enviado ao zero).]
Passo 4
Calcular a imagem usando a representação matricial. Escrevemos
na base canônica: para
temos
Chame essa matriz de
As colunas de
são
A imagem é o espaço gerado por essas colunas:
Agora verificar se
e
geram todo
ou apenas uma reta. Uma maneira rápida é calcular o determinante de
:
Como
, as colunas são linearmente independentes e a matriz tem posto
. Logo as colunas geram todo
, ou seja
Comentário didático: det
em
significa que a transformação é sobrejetora (alcança todo
).]
Passo 5
Checagem com o Teorema do posto-núcleo (rank–nullity) para conferir coerência:
-
(apenas o vetor zero). -
.
O teorema diz, o que dá . Está consistente.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (receita prática que você pode aplicar rápido):
- Para
: escreva e resolva o sistema linear por eliminação. Se só der a solução trivial , o núcleo é zero. - Para
: escreva a matriz de na base canônica e verifique as colunas. Se as colunas forem linearmente independentes (por exemplo em ), então . Se não, determine a reta gerada por uma coluna não nula. - Use o teorema posto-núcleo para checar consistência.
Exemplo rápido (para fixar): se
, então
e
(eixo
). Isso mostra como variar o método dependendo da regra.