Encontrar \operatorname{Nu}(T), \operatorname{Im}(T) de T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por T(x, y)=(x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x-y,\;x+y).
O que se pede:
  • Determinar \operatorname{Nu}(T), o núcleo (conjunto dos vetores que vão para o vetor zero).
  • Determinar \operatorname{Im}(T), a imagem (conjunto dos vetores alcançáveis como T(v)).
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de T para um vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 é T(x,y)=(x-y,x+y).
  • Não há outras restrições; tudo acontece em \mathbb{R}^2.

Passo 2

O que significa calcular núcleo e imagem (explicação didática e simples, passo a passo):
  • Núcleo: \operatorname{Nu}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}. Na prática, resolver o sistema linear obtido ao igualar cada componente de T(x,y) a zero.
  • Imagem: \operatorname{Im}(T)=\{T(x,y)\mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\}. Um modo prático é escrever T como matriz em relação à base canônica e tomar o espaço gerado (span) pelas colunas dessa matriz — isto é, a coluna-espaço (coluna coluna) da matriz.
Essas são receitas diretas que dão método concreto para a prova.

Passo 3

Calcular o núcleo resolvendo T(x,y)=(0,0)\). Escrevendo as equações: \[\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] x+y=0. \end{cases}
Vamos resolver de forma elementar:
  • Da primeira equação \;x-y=0\Rightarrow x=y.\] - Substituindo na segunda: \(x+y=0\Rightarrow x+x=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0.
    - Então y=x=0.
Logo o único vetor que vai para zero é o vetor nulo. Portanto
\operatorname{Nu}(T)=\{(0,0)\}.
Comentário didático: encontrar apenas a solução trivial significa que T é injetora (nenhum vetor não nulo é enviado ao zero).]

Passo 4

Calcular a imagem usando a representação matricial. Escrevemos T na base canônica: para (x,y) temos
T(x,y)=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Chame essa matriz de
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
As colunas de A são
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=T(1,0),\qquad v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=T(0,1).
A imagem é o espaço gerado por essas colunas:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Agora verificar se v_1 e v_2 geram todo \mathbb{R}^2 ou apenas uma reta. Uma maneira rápida é calcular o determinante de A:
\det(A)=1\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 1+1 = 2.
Como \det(A)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e a matriz tem posto 2. Logo as colunas geram todo \mathbb{R}^2, ou seja
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Comentário didático: det \neq 0 em \mathbb{R}^{2\times2} significa que a transformação é sobrejetora (alcança todo \mathbb{R}^2).]

Passo 5

Checagem com o Teorema do posto-núcleo (rank–nullity) para conferir coerência:
  • \dim(\operatorname{Nu}(T))=0 (apenas o vetor zero).
  • \dim(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{rank}(A)=2.
    O teorema diz \dim(\operatorname{Nu}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=2, o que dá 0+2=2. Está consistente.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (receita prática que você pode aplicar rápido):
  1. Para \operatorname{Nu}(T): escreva T(x,y)=(0,0) e resolva o sistema linear por eliminação. Se só der a solução trivial (0,0), o núcleo é zero.
  2. Para \operatorname{Im}(T): escreva a matriz A de T na base canônica e verifique as colunas. Se as colunas forem linearmente independentes (por exemplo \det(A)\neq 0 em 2\times2), então \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Se não, determine a reta gerada por uma coluna não nula.
  3. Use o teorema posto-núcleo para checar consistência.
Exemplo rápido (para fixar): se S(x,y)=(x,0), então \operatorname{Nu}(S)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\} e \operatorname{Im}(S)=\operatorname{span}\{(1,0)\} (eixo x). Isso mostra como variar o método dependendo da regra.

Resposta

\operatorname{Nu}(T)=\{(0,0)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}

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