O enunciado pede encontrar uma transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 tal que:
o núcleo (kernel) de T seja o subespaço gerado pelos vetoresv_1=(1,0,1,0),\qquad v_2=(-1,0,0,1);isto é, \operatorname{Nu}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
a imagem (range) de T seja o subespaço gerado pelos vetoresu_1=(1,-1,0,2),\qquad u_2=(0,1,-1,0);isto é, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Essas são exatamente as informações dadas. O objetivo é construir explicitamente uma transformação linear que satisfaça essas duas condições (por exemplo, dando a matriz de T na base canônica).
Passo 2
Verificar se os dados são consistentes (dimensão):
Primeiro, checar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Considere \(a v_1 + b v_2 = 0\). Isso dá o sistema
\[\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem a=0\], então da primeira \[b=0. Logo v_1 e v_2 são linearmente independentes. Portanto \dim\operatorname{Nu}(T)=2.
Checar se u_1 e u_2 são linearmente independentes. Considere c u_1 + d u_2 = 0. Isso dá
\begin{cases} c + 0\cdot d = 0,\\[4pt] -c + d = 0,\\[4pt] 0 - d = 0,\\[4pt] 2c + 0\cdot d = 0. \end{cases}
Da primeira equação c=0\]; então da segunda \(d=0. Logo u_1,u_2 são independentes e \dim\operatorname{Im}(T)=2.
Pela fórmula de posto-nuloidade (rank-nullity), para uma transformação T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 vale
Aqui 2+2=4, então os dados são compatíveis — existe (e há muitos) T com essas dimensões, e nós vamos construir uma explicitamente.]
Passo 3
Estratégia de construção (ideia geral, sem contas ainda):
Escolher uma base de \mathbb{R}^4 que comece pelos vetores do núcleo: \{v_1,v_2,\;w_1,w_2\}, com w_1,w_2 escolhidos de modo que esse conjunto seja base (ou seja, que complete para dimensão 4).
Definir T(v_1)=0 e T(v_2)=0 (isso garante que o núcleo contenha \operatorname{span}\{v_1,v_2\}; como a dimensão do núcleo será 2, ele será exatamente esse span).
Definir T(w_1)=u_1 e T(w_2)=u_2. Assim a imagem de T será \operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Em seguida, expressar a base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} em função da base escolhida e obter a matriz de T na base canônica (basta calcular T(e_j) por linearidade).
Agora vamos aplicar essa estratégia de forma concreta, escolhendo w_1 e w_2 simples.
Passo 4
Escolha explícita de [w_1) e w_2 e verificação de que formam base junto com v_1,v_2.
Para checar independência linear, suponha que a v_1 + b v_2 + c w_1 + d w_2 = 0. Isso dá o sistema por coordenadas:
\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] c = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b + d = 0. \end{cases}
Da terceira equação a=0\]; então da primeira \(b=0; da segunda c=0; da quarta d=0. Logo só a combinação trivial, portanto os quatro vetores são linearmente independentes e, como são quatro vetores em \mathbb{R}^4, formam uma base. Ótimo.]
com u_1=(1,-1,0,2) e u_2=(0,1,-1,0) conforme dado. Por linearidade isso determina T em toda \mathbb{R}^4. Agora é só passar para a base canônica para escrever a matriz.
Passo 6
Expressar os vetores da base canônica em função de [{v_1,v_2,w_1,w_2}).
Já sabemos que w_1=e_2 e w_2=e_4. Precisamos escrever e_1 e e_3.
Procuramos e_1 = a v_1 + b v_2 + c w_1 + d w_2.
Pelas coordenadas isso leva ao sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\[4pt] c = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b + d = 0. \end{cases}
Da terceira equação a=0\]. Então da primeira \[-b = 1 dando b=-1. Da segunda c=0. Da quarta d=1. Portanto
e_1 = -v_2 + w_2.
Agora e_3 = a v_1 + b v_2 + c w_1 + d w_2 leva ao sistema
\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] c = 0,\\[4pt] a = 1,\\[4pt] b + d = 0. \end{cases}
Da terceira a=1\]. Da primeira \(1 - b = 0 então b=1. Da segunda c=0. Da quarta d=-1. Assim
onde cada coluna está organizada como listado acima.]
Passo 9
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
Verificar A v_1=0. Como v_1=(1,0,1,0), tem-se A v_1 = T(e_1)+T(e_3)=u_2+(-u_2)=0.
Verificar A v_2=0. Como v_2=(-1,0,0,1), tem-se A v_2 = -T(e_1)+T(e_4)=-u_2+u_2=0.
As colunas de A pertencem ao espaço gerado por u_1,u_2, logo \operatorname{Im}(T)\subseteq\operatorname{span}\{u_1,u_2\}. Como há duas colunas linearmente independentes naquele span, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Assim A define uma transformação linear T com o núcleo e a imagem pedidos.
Resposta
A transformação linear T pode ser dada pela matriz na base canônica