Encontrar una transformaçáo linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} talque
\begin{aligned} & \operatorname{Nu}(T)=\{(1,0,1,0),(-1,0,0,1)\} \\\ & \operatorname{Im}(T)=\{(1,-1,0,2),(0,1,-1,0)\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 tal que:
  • o núcleo (kernel) de T seja o subespaço gerado pelos vetores v_1=(1,0,1,0),\qquad v_2=(-1,0,0,1);isto é, \operatorname{Nu}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
  • a imagem (range) de T seja o subespaço gerado pelos vetores u_1=(1,-1,0,2),\qquad u_2=(0,1,-1,0);isto é, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Essas são exatamente as informações dadas. O objetivo é construir explicitamente uma transformação linear que satisfaça essas duas condições (por exemplo, dando a matriz de T na base canônica).

Passo 2

Verificar se os dados são consistentes (dimensão):
  • Primeiro, checar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Considere \(a v_1 + b v_2 = 0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b = 0. \end{cases}
    Da terceira equação vem a=0\], então da primeira \[b=0. Logo v_1 e v_2 são linearmente independentes. Portanto \dim\operatorname{Nu}(T)=2.
  • Checar se u_1 e u_2 são linearmente independentes. Considere c u_1 + d u_2 = 0. Isso dá
    \begin{cases} c + 0\cdot d = 0,\\[4pt] -c + d = 0,\\[4pt] 0 - d = 0,\\[4pt] 2c + 0\cdot d = 0. \end{cases}
    Da primeira equação c=0\]; então da segunda \(d=0. Logo u_1,u_2 são independentes e \dim\operatorname{Im}(T)=2.
Pela fórmula de posto-nuloidade (rank-nullity), para uma transformação T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 vale
\dim\operatorname{Nu}(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=4.
Aqui 2+2=4, então os dados são compatíveis — existe (e há muitos) T com essas dimensões, e nós vamos construir uma explicitamente.]

Passo 3

Estratégia de construção (ideia geral, sem contas ainda):
  • Escolher uma base de \mathbb{R}^4 que comece pelos vetores do núcleo: \{v_1,v_2,\;w_1,w_2\}, com w_1,w_2 escolhidos de modo que esse conjunto seja base (ou seja, que complete para dimensão 4).
  • Definir T(v_1)=0 e T(v_2)=0 (isso garante que o núcleo contenha \operatorname{span}\{v_1,v_2\}; como a dimensão do núcleo será 2, ele será exatamente esse span).
  • Definir T(w_1)=u_1 e T(w_2)=u_2. Assim a imagem de T será \operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
  • Em seguida, expressar a base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} em função da base escolhida e obter a matriz de T na base canônica (basta calcular T(e_j) por linearidade).
Agora vamos aplicar essa estratégia de forma concreta, escolhendo w_1 e w_2 simples.

Passo 4

Escolha explícita de [w_1) e w_2 e verificação de que formam base junto com v_1,v_2.
Escolho
w_1=e_2=(0,1,0,0),\qquad w_2=e_4=(0,0,0,1).
Considere a família \{v_1,v_2,w_1,w_2\} com
v_1=(1,0,1,0),\quad v_2=(-1,0,0,1),\quad w_1=(0,1,0,0),\quad w_2=(0,0,0,1).
Para checar independência linear, suponha que a v_1 + b v_2 + c w_1 + d w_2 = 0. Isso dá o sistema por coordenadas:
\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] c = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b + d = 0. \end{cases}
Da terceira equação a=0\]; então da primeira \(b=0; da segunda c=0; da quarta d=0. Logo só a combinação trivial, portanto os quatro vetores são linearmente independentes e, como são quatro vetores em \mathbb{R}^4, formam uma base. Ótimo.]

Passo 5

Definir T na base escolhida.
Defino T por:
T(v_1)=0,\qquad T(v_2)=0,\qquad T(w_1)=u_1,\qquad T(w_2)=u_2,
com u_1=(1,-1,0,2) e u_2=(0,1,-1,0) conforme dado. Por linearidade isso determina T em toda \mathbb{R}^4. Agora é só passar para a base canônica para escrever a matriz.

Passo 6

Expressar os vetores da base canônica em função de [{v_1,v_2,w_1,w_2}).
Já sabemos que w_1=e_2 e w_2=e_4. Precisamos escrever e_1 e e_3.
Procuramos e_1 = a v_1 + b v_2 + c w_1 + d w_2.
Pelas coordenadas isso leva ao sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\[4pt] c = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b + d = 0. \end{cases}
Da terceira equação a=0\]. Então da primeira \[-b = 1 dando b=-1. Da segunda c=0. Da quarta d=1. Portanto
e_1 = -v_2 + w_2.
Agora e_3 = a v_1 + b v_2 + c w_1 + d w_2 leva ao sistema
\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] c = 0,\\[4pt] a = 1,\\[4pt] b + d = 0. \end{cases}
Da terceira a=1\]. Da primeira \(1 - b = 0 então b=1. Da segunda c=0. Da quarta d=-1. Assim
e_3 = v_1 + v_2 - w_2.
Resumo das expressões:
e_1 = -v_2 + w_2,\qquad e_2 = w_1,\qquad e_3 = v_1+v_2 - w_2,\qquad e_4 = w_2.]

Passo 7

Calcular T nos vetores da base canônica usando linearidade.
Usando as definições de T em v_1,v_2,w_1,w_2:
  • T(e_1)=T(-v_2+w_2)=-T(v_2)+T(w_2)=0+u_2=u_2.
  • T(e_2)=T(w_1)=u_1.
  • T(e_3)=T(v_1+v_2-w_2)=T(v_1)+T(v_2)-T(w_2)=0+0-u_2=-u_2.
  • T(e_4)=T(w_2)=u_2.
Vamos escrever os vetores u_1,u_2,-u_2 explicitamente:
u_1=(1,-1,0,2),\qquad u_2=(0,1,-1,0),\qquad -u_2=(0,-1,1,0).

Passo 8

Formar a matriz de T na base canônica (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)).
As colunas são:
T(e_1)=u_2=(0,1,-1,0), \qquad T(e_2)=u_1=(1,-1,0,2),
T(e_3)=-u_2=(0,-1,1,0), \qquad T(e_4)=u_2=(0,1,-1,0).
Portanto a matriz A de T na base canônica é
A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde cada coluna está organizada como listado acima.]

Passo 9

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Verificar A v_1=0. Como v_1=(1,0,1,0), tem-se A v_1 = T(e_1)+T(e_3)=u_2+(-u_2)=0.
  • Verificar A v_2=0. Como v_2=(-1,0,0,1), tem-se A v_2 = -T(e_1)+T(e_4)=-u_2+u_2=0.
  • As colunas de A pertencem ao espaço gerado por u_1,u_2, logo \operatorname{Im}(T)\subseteq\operatorname{span}\{u_1,u_2\}. Como há duas colunas linearmente independentes naquele span, \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Assim A define uma transformação linear T com o núcleo e a imagem pedidos.

Resposta

A transformação linear T pode ser dada pela matriz na base canônica
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

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