Encontre a área da superfície S que se encontra no cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}, a>0 e entre os planos z=2 x e z=4 x.
Passo 1
O enunciado dá que temos o cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} com a>0 e pede a área da parte da superfície do cilindro que fica entre os dois planos z=2x e z=4x. \n
Informações importantes fornecidas:
\text{Cilindro: }x^{2}+y^{2}=a^{2},\qquad a>0.
\text{Planos: }z=2x\quad\text{e}\quad z=4x.
O que se pede:
\text{Área da porção da superfície do cilindro que está entre esses dois planos.}
Passo 2
Como vamos descrever a superfície do cilindro e calcular sua área, vamos parametrizá-la de maneira natural. Para um cilindro de raio a com eixo paralelo ao eixo z, uma parametrização comum é, com parâmetros t (ângulo) e z (altura):
com t variando em [0,2\pi) e z variando entre os valores dados pelas interseções com os planos. Vou explicar por que essa parametrização é boa: para cada ângulo t fixo, x=a\cos t e y=a\sin t descrevem a circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2}; o parâmetro z percorre a altura ao longo da geratriz do cilindro. Essa parametrização torna o cálculo da área direto porque a norma do produto vetorial das derivadas é constante (ou simples).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais da parametrização (isso é obrigatório para obter o elemento de área). \n
Derivadas:
Agora precisamos do produto vetorial \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_z e da sua norma, porque o elemento de área é \bigl\|\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_z\bigr\|\,dt\,dz. Vou fazer o produto vetorial explicitamente para não deixar dúvida.
Passo 4
Produto vetorial (calculei componente a componente):
Explicando: a norma saiu a porque a derivada angular tem magnitude a (é o comprimento do vetor tangente à circunferência de raio a) e a derivada em z tem magnitude 1, e o produto vetorial combinou isso. Portanto o elemento de área é simplesmente a\,dt\,dz.
Passo 5
Agora precisamos dos limites em z para cada ângulo t. A interseção da geratriz com os planos dá:
z_1(t)=2x=2a\cos t,\qquad z_2(t)=4x=4a\cos t.
Para um ângulo t fixo, a porção da geratriz entre os planos tem comprimento (altura) igual a |z_2(t)-z_1(t)|. Observação importante (muito comum em provas!): se \cos t for negativo, z_2(t)-z_1(t) é negativo e integrar diretamente com esses limites daria área “assinada” zero. Área é sempre positiva, então devemos usar a diferença em módulo (valor absoluto) para obter a altura física do trecho entre planos:
Agora calculamos \displaystyle\int_{0}^{2\pi}|\cos t|\,dt. Uma forma simples é usar simetria: no intervalo [0,2\pi] a função |\cos t| tem quatro arcos idênticos de comprimento de integral 1 cada (ou ver explicitamente):
\int_{0}^{2\pi}|\cos t|\,dt = 4.
Explicação rápida: \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,dt=1. Pelas simetrias de |\cos t| ao longo do período, há quatro intervalos de comprimento \pi/2 com a mesma área, logo o total é 4\cdot 1=4.
Passo 7
Substituindo na expressão da área:
\text{Área}=2a^{2}\cdot 4 = 8a^{2}.Á
Portanto a área da superfície S do cilindro entre os planos z=2x e z=4x é 8a^{2}. Bom trabalho — você sobreviveu ao cálculo! Lembre-se do ponto crucial: sempre use valor absoluto quando as “alturas” dependem de funções que mudam de sinal, caso contrário a integral pode cancelar e dar zero (o que seria enganoso para área).