Encontre uma base e a dimensão do espaço solução W do sistema homogêneo dado:
\begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}-x_{4}+5 x_{5}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-2 x_{5}=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base e a dimensão do espaço solução W do sistema homogêneo dado. As equações fornecidas são:
\begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0, \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}-x_{4}+5 x_{5}=0, \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-2 x_{5}=0. \end{array}
Vou listar as informações importantes que temos:
  • São 5 incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}.
  • É um sistema homogêneo (termos independentes iguais a zero).
  • Queremos o espaço solução W=\{(x_1,\dots,x_5)\in\mathbb{R}^5 \mid \text{satisfaz o sistema}\}: uma base para W e \dim(W).

Passo 2

Vamos transformar o sistema em matriz e fazer eliminação de Gauss (objetivo: reduzir e identificar pivôs e variáveis livres).
Matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -4\\[4pt] 2 & 4 & -2 & -1 & 5\\[4pt] 2 & 4 & -2 & 4 & -2 \end{pmatrix}.
Explicação rápida da técnica: a eliminação de Gauss usa operações entre linhas para obter uma forma triangular ou escalonada. Pivôs são os primeiros coeficientes não nulos em cada linha escalonada; colunas com pivô correspondem a variáveis dependentes, as demais são livres. A dimensão do espaço solução de um sistema homogêneo é n-\operatorname{rank}(A), onde n é o número de incógnitas e \operatorname{rank}(A) é o número de pivôs (linhas independentes).]

Passo 3

Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Calculando:
R_2 - 2R_1 = (2,4,-2,-1,5) - 2(1,2,-1,3,-4) = (0,0,0,-7,13),
R_3 - 2R_1 = (2,4,-2,4,-2) - 2(1,2,-1,3,-4) = (0,0,0,-2,6).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -7 & 13\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora usamos a segunda linha como pivô na coluna 4. É útil escalonar para facilitar eliminação:
dividimos a segunda linha por -7:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-7}R_2 = (0,0,0,1,-\tfrac{13}{7}).
Em seguida eliminamos a entrada da coluna 4 na terceira linha com R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2:
R_3 + 2R_2 = (0,0,0,-2,6) + 2(0,0,0,1,-\tfrac{13}{7}) = (0,0,0,0,\tfrac{16}{7}).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{13}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{16}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Tornamos o terceiro pivô igual a 1 dividindo a terceira linha por \tfrac{16}{7}:
R_3 \leftarrow \frac{7}{16}R_3 = (0,0,0,0,1).
Agora eliminamos a componente em x_5 da segunda e da primeira linha:
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{13}{7}R_3 R_2=(0,0,0,1,0).
  • R_1 \leftarrow R_1 + 4R_3 (para zerar o -4 em x_5) dá temporariamente R_1=(1,2,-1,3,0).
    Finalmente, eliminamos o 3 na coluna 4 de R_1 usando R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2:
R_1 - 3R_2 = (1,2,-1,3,0) - 3(0,0,0,1,0) = (1,2,-1,0,0).
A forma reduzida que obtemos é:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretando a forma reduzida, as equações correspondentes são:
\begin{array}{l} x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 0,\\[4pt] x_{4} = 0,\\[4pt] x_{5} = 0. \end{array}
Pivôs aparecem nas colunas 1,4,5. Assim:
  • Variáveis dependentes (ligadas a pivôs): x_1,x_4,x_5.
  • Variáveis livres: x_2,x_3.
Número de incógnitas n=5, número de pivôs \operatorname{rank}(A)=3. Logo
\dim(W)=n-\operatorname{rank}(A)=5-3=2.]

Passo 7

Parametrizamos a solução usando parâmetros para as variáveis livres. Seja s,x_2 e t,x_3:
x_2 = s,\qquad x_3 = t.
Da primeira equação x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 obtém-se
x_1 = -2x_2 + x_3 = -2s + t.
E x_4 = 0,\; x_5 = 0.
Portanto o vetor solução geral é
\begin{pmatrix}x_1\\\ x_2\\\ x_3\\\ x_4\\\ x_5\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}. Os dois vetores exibidos são linearmente independentes e geram todo W, logo formam uma base.]

Passo 8

Resumo final: uma base conveniente para W é
\left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\},
e a dimensão é 2. (Dica: na prova, identifique pivôs e variáveis livres; parametrizar pelas livres e escrever a combinação linear dá a base diretamente.)]

Resposta

\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\right\}
\displaystyle \dim(W)=2

Exercícios relacionados