Encontre uma base do núcleo e outra para a imagem de
dada por
. (
é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 2 ).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que é pedido:
- Encontrar uma base do núcleo de
(ou seja, um conjunto de polinômios que gera o conjunto e é linearmente independente). - Encontrar uma base da imagem de
(ou seja, um conjunto de polinômios que gera e é linearmente independente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O espaço
é o espaço dos polinômios reais de grau no máximo (dimensão ). - A transformação aplicada a um polinômio
é a soma de sua primeira e segunda derivadas.
Passo 2
Vamos escrever um polinômio genérico de
. Seja
onde
. Aqui
é o coeficiente de
,
de
e
o termo constante. Essa é a forma mais prática para calcular derivadas e aplicar
.
Passo 3
Calcular
e
. Relembrando: a derivada de
é
. Portanto,
Agora somamos:
Ou seja, para um
obtemos
Note que o termo
desaparece: constantes têm derivada zero e segunda derivada zero.
Passo 4
Determinar o núcleo de
. Definição:
, onde
é o polinômio nulo (o polinômio com todos coeficientes zero). Usando a expressão encontrada:
Para que um polinômio seja nulo todos os seus coeficientes devem ser zero. Portanto devemos ter
Da primeira equação vem
. Substituindo em
obtemos
. O coeficiente
não aparece em
, então
é livre (qualquer valor de
dá
se
). Logo os polinômios do núcleo são exatamente os da forma
isto é, múltiplos do polinômio constante
. Conclusão:
. Uma base natural do núcleo é
.
Comentário didático rápido: encontrar o núcleo equivale a resolver um sistema linear obtido igualando coeficientes a zero; aqui foi simples porque escrevemos
em termos de
.
Passo 5
Determinar a imagem de
. Definição:
. Usando a forma geral
, vemos que a imagem consiste de todos os polinômios lineares (grau no máximo
) cujos coeficientes podem ser obtidos escolhendo
. Vamos mostrar explicitamente que a imagem é todo
(o subespaço dos polinômios de grau ≤1).
Mostramos que
e
pertencem à imagem (então geram
):
- Para obter
: escolha e . Então e
Logo
.
- Para obter
: queremos , ou seja . Igualando coeficientes temos e . Da primeira vem . Então . Tomando obtemos
Logo
.
Como
e
estão na imagem, e qualquer polinômio linear
é combinação linear de
e
, concluímos que
Portanto uma base natural da imagem é
.
Verificação pela dimensão (teorema posto-nulo):
. Encontramos
, então
, coerente com
ser uma base da imagem.
Passo 6
Resumo e observações finais (motivação para prova): o procedimento prático para problemas deste tipo é sempre:
- escrever um polinômio genérico com coeficientes
; - calcular
em termos desses coeficientes; - para o núcleo resolver
igualando coeficientes e encontrar os parâmetros livres; - para a imagem identificar quais combinações são possíveis (achar polinômios geradores e verificar independência) ou usar dimensões combinadas pelo teorema posto-nulo.
Força aí — você já viu a técnica completa e pode aplicar equivalente em outros operadores lineares que envolvem derivadas, integrais ou avaliação em pontos!
Resposta
Base do núcleo:
Base da imagem:
Base da imagem: