Encontre uma base do núcleo e outra para a imagem de T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) dada por T(p)=p^{\prime}+p^{\prime \prime}. ( \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau nó máximo 2 ).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(p)=p'+p''.
O que é pedido:
  • Encontrar uma base do núcleo de T (ou seja, um conjunto de polinômios que gera o conjunto \{p\in\mathcal{P}_2: T(p)=0\} e é linearmente independente).
  • Encontrar uma base da imagem de T (ou seja, um conjunto de polinômios que gera \{T(p):p\in\mathcal{P}_2\} e é linearmente independente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O espaço \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 2 (dimensão 3).
  • A transformação aplicada a um polinômio p é a soma de sua primeira e segunda derivadas.

Passo 2

Vamos escrever um polinômio genérico de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Seja
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a é o coeficiente de x^{2}, b de x e c o termo constante. Essa é a forma mais prática para calcular derivadas e aplicar T.

Passo 3

Calcular p' e p''. Relembrando: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Portanto,
p'(x)=\frac{d}{dx}(ax^{2}+bx+c)=2ax+b,
p''(x)=\frac{d}{dx}(2ax+b)=2a.
Agora somamos:
T(p)(x)=p'(x)+p''(x)=(2ax+b)+2a=2ax+(b+2a).
Ou seja, para um p(x)=ax^{2}+bx+c obtemos
T(p)(x)=2a\,x+(b+2a).
Note que o termo c desaparece: constantes têm derivada zero e segunda derivada zero.

Passo 4

Determinar o núcleo de T. Definição: \ker T=\{p\in\mathcal{P}_2 : T(p)=0\}, onde 0 é o polinômio nulo (o polinômio com todos coeficientes zero). Usando a expressão encontrada:
T(p)(x)=2a\,x+(b+2a)=0\quad\text{(polinômio nulo)}.ô
Para que um polinômio seja nulo todos os seus coeficientes devem ser zero. Portanto devemos ter
2a=0\quad\text{e}\quad b+2a=0.
Da primeira equação vem a=0. Substituindo em b+2a=0 obtemos b=0. O coeficiente c não aparece em T(p), então c é livre (qualquer valor de c T(p)=0 se a=b=0). Logo os polinômios do núcleo são exatamente os da forma
p(x)=c,\qquad c\in\mathbb{R},
isto é, múltiplos do polinômio constante 1. Conclusão: \ker T=\operatorname{span}\{1\}. Uma base natural do núcleo é \{1\}.
Comentário didático rápido: encontrar o núcleo equivale a resolver um sistema linear obtido igualando coeficientes a zero; aqui foi simples porque escrevemos T(p) em termos de a,b,c.

Passo 5

Determinar a imagem de T. Definição: \operatorname{Im} T=\{T(p):p\in\mathcal{P}_2\}. Usando a forma geral T(p)(x)=2a\,x+(b+2a), vemos que a imagem consiste de todos os polinômios lineares (grau no máximo 1) cujos coeficientes podem ser obtidos escolhendo a,b\in\mathbb{R}. Vamos mostrar explicitamente que a imagem é todo \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) (o subespaço dos polinômios de grau ≤1).
Mostramos que x e 1 pertencem à imagem (então geram \mathcal{P}_1):
  • Para obter 1: escolha a=0 e b=1. Então p(x)=x e
T(x)=T(0\cdot x^{2}+1\cdot x+0)=2\cdot0\cdot x+(1+2\cdot0)=1.
Logo 1\in\operatorname{Im}T.
  • Para obter x: queremos T(p)=x, ou seja 2a\,x+(b+2a)=x+0. Igualando coeficientes temos 2a=1 e b+2a=0. Da primeira vem a=\tfrac{1}{2}. Então b=-2a=-1. Tomando p(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}-x obtemos
T\bigl(\tfrac{1}{2}x^{2}-x\bigr)=x.
Logo x\in\operatorname{Im}T.
Como x e 1 estão na imagem, e qualquer polinômio linear \alpha x+\beta é combinação linear de x e 1, concluímos que
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{x,1\}=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}).
Portanto uma base natural da imagem é \{x,1\}.
Verificação pela dimensão (teorema posto-nulo): \dim\mathcal{P}_2=3. Encontramos \dim\ker T=1, então \operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T=3-1=2, coerente com \{x,1\} ser uma base da imagem.

Passo 6

Resumo e observações finais (motivação para prova): o procedimento prático para problemas deste tipo é sempre:
  • escrever um polinômio genérico com coeficientes a,b,c;
  • calcular T(p) em termos desses coeficientes;
  • para o núcleo resolver T(p)=0 igualando coeficientes e encontrar os parâmetros livres;
  • para a imagem identificar quais combinações são possíveis (achar polinômios geradores e verificar independência) ou usar dimensões combinadas pelo teorema posto-nulo.
Força aí — você já viu a técnica completa e pode aplicar equivalente em outros operadores lineares que envolvem derivadas, integrais ou avaliação em pontos!

Resposta

Base do núcleo: \{1\}
Base da imagem: \{x,1\}

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