Encontre e classifique todos os pontos críticos da função:
(TVE) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
na região triangular fechada com vértices
e
.
(TVE) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região triangular fechada com vértices
e
.\n
Informações relevantes fornecidas:
.
A região é o triângulo fechado com vértices .
Os pontos que definem os lados são:
Informações relevantes fornecidas:
A região é o triângulo fechado com vértices
Os pontos que definem os lados são:
- lado 1: entre
e (reta , ); - lado 2: entre
e (reta , ); - lado 3: entre
e (reta que liga os dois vértices).
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): como a região é fechada e limitada e a função é contínua, ela atinge máximo e mínimo absolutos nessa região. O procedimento padrão é:
- Procurar pontos críticos no interior da região (onde o gradiente é zero).
- Examinar cada lado do triângulo (reduzindo a uma função de uma variável) — verificar extremos internos nesses segmentos e os extremos nos vértices.
- Comparar todos os valores obtidos e decidir quais são máximos e mínimos absolutos.
Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada fórmula usada:
- Gradiente:
, onde é a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial em relação a . Pontos críticos internos satisfazem . - Para cada segmento de reta, substituímos a equação do segmento em
e obtemos uma função unidimensional; então usamos derivada usual para encontrar extremos internos nesse segmento.
Passo 3
Calcular pontos críticos no interior: primeiro as derivadas parciais.
Ponto crítico interno encontra-se resolvendo
e
:
Portanto o ponto crítico é
. Agora verificar se
pertence ao triângulo. Uma forma prática: para este triângulo os pontos internos satisfazem
e
. Para
:
Logo
está fora do triângulo. Conclusão: não há pontos críticos interiores à região.
Passo 4
Examinar o lado 1: reta
com
. Substituir em
:
Isto é uma função de uma variável. Derivada:
Igualando a zero:
, que está no intervalo
. Avaliar
no ponto crítico e nos extremos:
Portanto, ao longo desse lado o maior valor é
em
e o menor é
atingido em
e
.
Passo 5
Examinar o lado 2: reta
com
. Substituir em
:
Derivada:
Igualando a zero:
, que está em
. Avaliar:
Portanto, ao longo desse lado o máximo é
em
e o mínimo é
em
.
Passo 6
Examinar o lado 3: reta entre
e
. Em vez de tentar expressar
como função de
com coeficientes fracionários, uso uma parametrização linear simples: para
que dá
para
e
para
. Substituir na
para obter função unidimensional
:
Primeiro calcule as partes separadamente:
Primeiro calcule as partes separadamente:
Logo
Isto é um polinômio quadrático em
, com derivada
Igualando a zero:
que pertence a
. Avaliar
no ponto crítico e nos extremos
:
Fazendo contas com frações: note que
e
Outra maneira mais direta é simplificar:
Portanto o valor é
(aprox.
). As coordenadas correspondentes são
Também verificar extremos nos finais do segmento:
Como o coeficiente quadrático é
, o ponto
é um máximo local (e aqui máximo do segmento).
Passo 7
Lista de todos os candidatos (pontos onde a função pode atingir extremos na região):
- vértices:
com , com , com ; - pontos críticos nos lados:
com , com , e com .
Comparando os valores:
logo o maior valor é
no ponto
. O menor valor entre os candidatos é
, atingido em
e em
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.\n
Mínimo absoluto: em
e
.
Mínimo absoluto: