Encontre e classifique todos os pontos críticos da função:
(TVE) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=4 x+6 y-x^{2}-y^{2} na região triangular fechada com vértices (0,0),(4,0) e (0,5).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função \,f(x,y)=4x+6y-x^{2}-y^{2}\, na região triangular fechada com vértices \,(0,0),\,(4,0) e (0,5).\n
Informações relevantes fornecidas:
\,f(x,y)=4x+6y-x^{2}-y^{2}\,.
A região é o triângulo fechado com vértices \,(0,0),\,(4,0),\,(0,5)\,.
Os pontos que definem os lados são:
  • lado 1: entre (0,0) e (4,0) (reta y=0, 0\le x\le4);
  • lado 2: entre (0,0) e (0,5) (reta x=0, 0\le y\le5);
  • lado 3: entre (4,0) e (0,5) (reta que liga os dois vértices).

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): como a região é fechada e limitada e a função é contínua, ela atinge máximo e mínimo absolutos nessa região. O procedimento padrão é:
  1. Procurar pontos críticos no interior da região (onde o gradiente é zero).
  2. Examinar cada lado do triângulo (reduzindo a uma função de uma variável) — verificar extremos internos nesses segmentos e os extremos nos vértices.
  3. Comparar todos os valores obtidos e decidir quais são máximos e mínimos absolutos.
Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada fórmula usada:
  • Gradiente: \nabla f=(f_x,f_y), onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y a derivada parcial em relação a y. Pontos críticos internos satisfazem \nabla f=0.
  • Para cada segmento de reta, substituímos a equação do segmento em f e obtemos uma função unidimensional; então usamos derivada usual para encontrar extremos internos nesse segmento.

Passo 3

Calcular pontos críticos no interior: primeiro as derivadas parciais.
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(4x+6y-x^2-y^2)=4-2x,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(4x+6y-x^2-y^2)=6-2y.
Ponto crítico interno encontra-se resolvendo \,f_x=0 e \,f_y=0:
4-2x=0 \Longrightarrow x=2,
6-2y=0 \Longrightarrow y=3.
Portanto o ponto crítico é \,(2,3). Agora verificar se (2,3) pertence ao triângulo. Uma forma prática: para este triângulo os pontos internos satisfazem x\ge0,\;y\ge0 e \frac{x}{4}+\frac{y}{5}\le1. Para (2,3):
\frac{2}{4}+\frac{3}{5}=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{11}{10}=1{,}1>1.
Logo (2,3) está fora do triângulo. Conclusão: não há pontos críticos interiores à região.

Passo 4

Examinar o lado 1: reta \,y=0 com 0\le x\le4. Substituir em f:
g_1(x)=f(x,0)=4x-x^{2}.
Isto é uma função de uma variável. Derivada:
g_1'(x)=4-2x.
Igualando a zero: 4-2x=0\Rightarrow x=2, que está no intervalo [0,4]. Avaliar g_1 no ponto crítico e nos extremos:
f(2,0)=4\cdot2-2^{2}=8-4=4,
f(0,0)=0,\qquad f(4,0)=4\cdot4-4^{2}=16-16=0.
Portanto, ao longo desse lado o maior valor é 4 em (2,0) e o menor é 0 atingido em (0,0) e (4,0).

Passo 5

Examinar o lado 2: reta \,x=0 com 0\le y\le5. Substituir em f:
g_2(y)=f(0,y)=6y-y^{2}.
Derivada:
g_2'(y)=6-2y.
Igualando a zero: 6-2y=0\Rightarrow y=3, que está em [0,5]. Avaliar:
f(0,3)=6\cdot3-3^{2}=18-9=9,
f(0,0)=0,\qquad f(0,5)=6\cdot5-5^{2}=30-25=5.
Portanto, ao longo desse lado o máximo é 9 em (0,3) e o mínimo é 0 em (0,0).

Passo 6

Examinar o lado 3: reta entre (4,0) e (0,5). Em vez de tentar expressar y como função de x com coeficientes fracionários, uso uma parametrização linear simples: para s\in[0,1]
x=4(1-s),\qquad y=5s,
que dá (4,0) para s=0 e (0,5) para s=1. Substituir na f para obter função unidimensional g_3(s):
Primeiro calcule as partes separadamente:
4x+6y=4\cdot4(1-s)+6\cdot5s=16-16s+30s=16+14s,
x^{2}+y^{2}=(4-4s)^{2}+(5s)^{2}=16-32s+41s^{2}.
Logo
g_3(s)=f(4(1-s),5s)=(16+14s)-(16-32s+41s^{2})=46s-41s^{2}.
Isto é um polinômio quadrático em s, com derivada
g_3'(s)=46-82s.
Igualando a zero:
46-82s=0\Longrightarrow s=\frac{46}{82}=\frac{23}{41},
que pertence a [0,1]. Avaliar g_3 no ponto crítico e nos extremos s=0,1:
g_3\!\left(\frac{23}{41}\right)=46\cdot\frac{23}{41}-41\left(\frac{23}{41}\right)^{2}.
Fazendo contas com frações: note que
46\cdot\frac{23}{41}=\frac{46\cdot23}{41}=\frac{1058}{41},
e
41\left(\frac{23}{41}\right)^{2}=\frac{41\cdot529}{1681}=\frac{21689}{1681}=\frac{529}{41}.
Outra maneira mais direta é simplificar:
g_3\!\left(\frac{23}{41}\right)=46\cdot\frac{23}{41}-41\cdot\frac{23^{2}}{41^{2}}=\frac{46\cdot23\cdot41-41\cdot23^{2}}{41^{2}}=\frac{41\cdot23(46-23)}{41^{2}}=\frac{23\cdot23}{41}=\frac{529}{41}.
Portanto o valor é \displaystyle \frac{529}{41} (aprox. \,12{,}9024). As coordenadas correspondentes são
x=4\left(1-\frac{23}{41}\right)=4\cdot\frac{18}{41}=\frac{72}{41},
y=5\cdot\frac{23}{41}=\frac{115}{41}.
Também verificar extremos nos finais do segmento:
g_3(0)=f(4,0)=0,\qquad g_3(1)=f(0,5)=5.
Como o coeficiente quadrático é -41<0, o ponto s=\frac{23}{41} é um máximo local (e aqui máximo do segmento).

Passo 7

Lista de todos os candidatos (pontos onde a função pode atingir extremos na região):
  • vértices: (0,0) com f=0, (4,0) com f=0, (0,5) com f=5;
  • pontos críticos nos lados: (2,0) com f=4, (0,3) com f=9, e \left(\frac{72}{41},\frac{115}{41}\right) com f=\frac{529}{41}\approx12{,}9024.
Comparando os valores:
\frac{529}{41}\approx12{,}9024>9>4>5>0,
logo o maior valor é \displaystyle \frac{529}{41} no ponto \left(\frac{72}{41},\frac{115}{41}\right). O menor valor entre os candidatos é 0, atingido em (0,0) e em (4,0).

Resposta

Máximo absoluto: \displaystyle f_{\max}=\frac{529}{41} em \displaystyle\left(\frac{72}{41},\frac{115}{41}\right).\n
Mínimo absoluto: \displaystyle f_{\min}=0 em \,(0,0) e (4,0).

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