Encontre as coordenadas x^{\prime} e y^{\prime} dos pontos em que a parábola y=-x^{2} intercepta o eixo y^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as coordenadas x^{\prime} e y^{\prime} dos pontos em que a parábola y=-x^{2} intercepta o eixo y^{\prime}.” Informações dadas e o que precisamos achar:
  • Temos a parábola dada por \;y=-x^{2}\;.
  • Existe um sistema de coordenadas (x',y') obtido por rotação do sistema (x,y) em torno da origem por um ângulo \theta. (Como o enunciado não especifica um \theta, vamos resolver de forma geral em função de \theta.)
  • O eixo y' é a reta do novo sistema correspondente a x'=0.
  • Precisamos achar as coordenadas (x',y') dos pontos em que a curva dada intercepta essa reta x'=0.

Passo 2

Fórmulas de transformação entre coordenadas originais (x,y) e as coordenadas rotacionadas (x',y'):
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.
Explicação intuitiva: rotacionar o sistema por \theta aplica a matriz de rotação; x' e y' são as coordenadas medidas no sistema rotacionado. Nas fórmulas acima, \theta é o ângulo de rotação (positivo no sentido anti-horário), \cos\theta e \sin\theta são as razões trigonométricas usuais. Cada variável representa:
  • x, y: coordenadas no sistema original;
  • x', y': coordenadas no sistema rotacionado;
  • \theta: ângulo de rotação.

Passo 3

Identificar a condição para pontos sobre o eixo y'. Pelo enunciado, o eixo y' corresponde a x'=0. Então, para um ponto qualquer sobre y' temos x'=0. Substituindo x'=0 nas fórmulas de transformação obtemos as coordenadas (x,y) do ponto (em função de y' e \theta):
x = -y'\sin\theta,
y = y'\cos\theta.
Ou seja: qualquer ponto sobre o eixo y' tem essas coordenadas no sistema (x,y).

Passo 4

Impor que esse ponto pertence à parábola y=-x^{2}. Substituímos as expressões de x e y (em função de y') na equação da parábola:
y'\cos\theta = -\bigl(-y'\sin\theta\bigr)^{2}.
Calcule o lado direito com calma:
\bigl(-y'\sin\theta\bigr)^{2} = (y')^{2}\sin^{2}\theta,
portanto a equação fica
y'\cos\theta = - (y')^{2}\sin^{2}\theta.

Passo 5

Organizar a equação e resolver para y'. Leve tudo para um lado:
(y')^{2}\sin^{2}\theta + y'\cos\theta = 0.
Fatorando y':
y'\bigl(y'\sin^{2}\theta + \cos\theta\bigr)=0.
Dessa fatoração obtemos as soluções possíveis:
  1. y'=0.
  2. y'\sin^{2}\theta + \cos\theta = 0 \Longrightarrow y' = -\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}, desde que \sin\theta\neq 0.
Explicação do passo: ao fatorar, isolamos as raízes; a primeira raiz y'=0 corresponde ao ponto origem que sempre pertence à parábola y=-x^{2}. A segunda é a outra interseção (quando existe).

Passo 6

Tratar casos especiais (importante para fazer direitinho na prova):
  • Se \sin\theta\neq 0 (a maioria dos casos), temos duas interseções sobre o eixo y': y'=0 e y'=-\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
  • Se \sin\theta=0 (isto é, \theta=k\pi, rotação nula ou por 180^\circ), a equação original reduz a y'\cos\theta=0. Como nessa situação \cos\theta=\pm1\neq0, segue que a única solução é y'=0. Isso faz sentido geometricamente: para \theta=0 o eixo y' coincide com o eixo y original, e a parábola y=-x^{2} corta o eixo y apenas na origem.
  • Podemos reescrever a solução não-nula em termos de funções trigonométricas conhecidas:
-\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = -\cot\theta\csc\theta.

Passo 7

Obter as coordenadas (x',y') dos pontos de interseção no sistema rotacionado. Lembre-se que sobre o eixo y' sempre x'=0. Assim os pontos são:
  • \bigl(0,\;0\bigr) (a origem),
  • \displaystyle\Bigl(0,\;-\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\Bigr) quando \sin\theta\neq0.
Exemplo numérico para fixar: se \theta=\tfrac{\pi}{4} (ou seja, rotação de 45^\circ), então \sin\theta=\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e
y'=-\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=-\dfrac{\sqrt{2}/2}{(1/2)}=-\sqrt{2},
portanto as interseções são (0,0) e (0,-\sqrt{2}).

Resposta

(0,0)
\displaystyle\Bigl(0,\;-\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\Bigr) (quando \sin\theta\neq0; caso \sin\theta=0 existe apenas (0,0)).

Exercícios relacionados