Encontre as coordenadas
e
dos pontos em que a parábola
intercepta o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as coordenadas
e
dos pontos em que a parábola
intercepta o eixo
.” Informações dadas e o que precisamos achar:
- Temos a parábola dada por
. - Existe um sistema de coordenadas
obtido por rotação do sistema em torno da origem por um ângulo . (Como o enunciado não especifica um , vamos resolver de forma geral em função de .) - O eixo
é a reta do novo sistema correspondente a . - Precisamos achar as coordenadas
dos pontos em que a curva dada intercepta essa reta .
Passo 2
Fórmulas de transformação entre coordenadas originais
e as coordenadas rotacionadas
:
Explicação intuitiva: rotacionar o sistema por
aplica a matriz de rotação;
e
são as coordenadas medidas no sistema rotacionado. Nas fórmulas acima,
é o ângulo de rotação (positivo no sentido anti-horário),
e
são as razões trigonométricas usuais. Cada variável representa:
-
, : coordenadas no sistema original; -
, : coordenadas no sistema rotacionado; -
: ângulo de rotação.
Passo 3
Identificar a condição para pontos sobre o eixo
. Pelo enunciado, o eixo
corresponde a
. Então, para um ponto qualquer sobre
temos
. Substituindo
nas fórmulas de transformação obtemos as coordenadas
do ponto (em função de
e
):
Ou seja: qualquer ponto sobre o eixo
tem essas coordenadas no sistema
.
Passo 4
Impor que esse ponto pertence à parábola
. Substituímos as expressões de
e
(em função de
) na equação da parábola:
Calcule o lado direito com calma:
portanto a equação fica
Passo 5
Organizar a equação e resolver para
. Leve tudo para um lado:
Fatorando
:
Dessa fatoração obtemos as soluções possíveis:
-
. -
, desde que .
Explicação do passo: ao fatorar, isolamos as raízes; a primeira raiz
corresponde ao ponto origem que sempre pertence à parábola
. A segunda é a outra interseção (quando existe).
Passo 6
Tratar casos especiais (importante para fazer direitinho na prova):
- Se
(a maioria dos casos), temos duas interseções sobre o eixo : e . - Se
(isto é, , rotação nula ou por ), a equação original reduz a . Como nessa situação , segue que a única solução é . Isso faz sentido geometricamente: para o eixo coincide com o eixo original, e a parábola corta o eixo apenas na origem. - Podemos reescrever a solução não-nula em termos de funções trigonométricas conhecidas:
Passo 7
Obter as coordenadas
dos pontos de interseção no sistema rotacionado. Lembre-se que sobre o eixo
sempre
. Assim os pontos são:
-
(a origem), -
quando .
Exemplo numérico para fixar: se
(ou seja, rotação de
), então
e
portanto as interseções são
e
.