Encontre a derivada das funções abaixo:
y=3 x^{4}-2 x^{2}+8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função. A função dada é
y=3x^{4}-2x^{2}+8.
Informações relevantes do enunciado:
  • A variável independente é x e a dependente é y.
  • A função é a soma de três termos: 3x^{4}, -2x^{2} e 8.
  • Precisa-se calcular y' (ou \dfrac{dy}{dx}), a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra da potência: para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
ou seja, baixa-se o expoente e diminui-se 1 no expoente.
  • Regra da constante multiplicativa: se a é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot \frac{d}{dx}f(x).
Ou seja, a constante sai na frente da derivada.
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
  • Derivada de constante: se c é constante,
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Explicando em palavras: para cada termo tipo a x^{n}, multiplica-se a por n e reduz-se o expoente de n para n-1. Para constantes sem x, a derivada é zero. Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo 3x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) =3\cdot(4x^{3})=12x^{3}.
Expliquei: usei a regra da constante multiplicativa (o 3 sai na frente) e a regra da potência ( \frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}).

Passo 4

Derivada do segundo termo -2x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}\bigr)=-2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =-2\cdot(2x)=-4x.
Aqui também saiu a constante -2 e apliquei \frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 5

Derivada do terceiro termo 8 (constante):
\frac{d}{dx}(8)=0.
Constantes desaparecem na derivada.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
y'=12x^{3}-4x+0.
Simplificando:
y'=12x^{3}-4x.
Opcionalmente pode-se fatorar:
y'=4x(3x^{2}-1).

Resposta

y'=12x^{3}-4x

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