Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}+2 x-8}{x^{2}-5 x+6}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-5x+6}.
Informações dadas:
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-5x+6}.
  • O limite é ao aproximar x de 2 pela direita (valores x>2 e muito próximos de 2).
    O objetivo é determinar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Tentar substituição direta para ver se dá um valor definido:
\text{numerador em }x=2:\quad 2^{2}+2\cdot2-8 = 4+4-8 = 0,
\text{denominador em }x=2:\quad 2^{2}-5\cdot2+6 = 4-10+6 = 0.
Obtemos a forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso indica que não podemos concluir o limite por substituição direta; precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador (isso é padrão para resolver indeterminações do tipo 0/0).
Fatorando o numerador:
x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2),
pois (x+4)(x-2)=x^{2}+4x-2x-8=x^{2}+2x-8.
Fatorando o denominador:
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3),
pois (x-2)(x-3)=x^{2}-3x-2x+6=x^{2}-5x+6.

Passo 4

Reescrever a função com as fatorações:
\frac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-5x+6} = \frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)(x-3)}.
Para x\neq 2 pode-se cancelar o fator (x-2), obtendo a expressão equivalente
\frac{x+4}{x-3}\qquad (x\neq 2).
Justificativa: o limite quando x\to2^{+} depende apenas dos valores de f(x) para x próximos de 2 mas diferentes de 2; portanto é válido substituir f(x) por essa expressão simplificada, já que elas coincidem em todo ponto próximo a 2 exceto em x=2 em si.

Passo 5

Calcular o limite da expressão simplificada. Como a expressão \dfrac{x+4}{x-3} é contínua em x=2 (o denominador em x=2 é 2-3=-1\neq0), podemos substituir x=2:
\lim_{x\to2^{+}}\frac{x+4}{x-3} = \frac{2+4}{2-3} = \frac{6}{-1} = -6.

Passo 6

Interpretação final e comentário pedagógico breve: a indeterminação \tfrac{0}{0} foi resolvida por fatoração e cancelamento, que revela que o ponto x=2 é uma descontinuidade removível da função original (a função pode ser redefinida em x=2 para ficar contínua). O limite lateral pela direita existe e vale -6. Um exemplo análogo mais simples é \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2.

Resposta

-6

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