Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite lateral
Informações dadas:
- A função dada é
. - O limite é ao aproximar
de pela direita (valores e muito próximos de ).
O objetivo é determinar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Tentar substituição direta para ver se dá um valor definido:
Obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso indica que não podemos concluir o limite por substituição direta; precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Fatorar numerador e denominador (isso é padrão para resolver indeterminações do tipo
).
Fatorando o numerador:
Fatorando o numerador:
pois
.
Fatorando o denominador:
Fatorando o denominador:
pois
.
Passo 4
Reescrever a função com as fatorações:
Para
pode-se cancelar o fator
, obtendo a expressão equivalente
Justificativa: o limite quando
depende apenas dos valores de
para
próximos de
mas diferentes de
; portanto é válido substituir
por essa expressão simplificada, já que elas coincidem em todo ponto próximo a
exceto em
em si.
Passo 5
Calcular o limite da expressão simplificada. Como a expressão
é contínua em
(o denominador em
é
), podemos substituir
:
Passo 6
Interpretação final e comentário pedagógico breve: a indeterminação
foi resolvida por fatoração e cancelamento, que revela que o ponto
é uma descontinuidade removível da função original (a função pode ser redefinida em
para ficar contínua). O limite lateral pela direita existe e vale
. Um exemplo análogo mais simples é
.