Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^{2}-1\right)^{2}}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x\right)}.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre o valor (ou se mostre que não existe) do seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^{2}-1\right)^{2}}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x\right)}.
Informações dadas no enunciado:
  • A expressão é uma razão de polinômios construída a partir de \left(2x^{2}-1\right)^{2} no numerador e (x-1)^{2}\left(x^{2}+x\right) no denominador.
  • A variável x tende a +\infty.
    As perguntas são: qual é o limite (um número finito, infinito, ou não existe)?

Passo 2

Primeiro vou desenvolver (expandir) tanto o numerador quanto o denominador para ver claramente os termos de maior ordem em x.
Expandindo o numerador:
\left(2x^{2}-1\right)^{2} = (2x^{2})^{2} - 2\cdot(2x^{2})\cdot 1 + 1^{2} = 4x^{4} - 4x^{2} + 1.
Agora o denominador: primeiro (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Multiplicando por (x^{2}+x),
(x^{2}-2x+1)(x^{2}+x) = x^{4} - x^{3} - x^{2} + x.
Portanto a função fica
\frac{4x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{4} - x^{3} - x^{2} + x}.

Passo 3

Quando estudamos limite para x\to\infty de uma razão de polinômios, o termo que domina o comportamento no infinito é o de maior grau (a maior potência de x). Aqui tanto numerador quanto denominador têm grau 4 (o maior expoente é x^{4}). Uma forma sistemática de tirar o limite é dividir numerador e denominador por x^{4} (a maior potência presente) e observar os termos restantes.
Dividindo por x^{4}:
\frac{4x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{4} - x^{3} - x^{2} + x} = \frac{4 - \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{4}}}{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora uso um fato básico sobre limites de potências de x: para qualquer expoente positivo k>0,
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{k}} = 0.
Isto é intuitivo (quanto maior x, mais pequeno fica 1/x^{k}) e pode ser formalizado por desigualdades simples. Aplicando isso aos termos acima,
\lim_{x\to\infty} \left(- \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{4}}\right) = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty} \left(- \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}\right) = 0.
Portanto, tomando limite na expressão do Passo 3, obtemos
\lim_{x\to\infty} \frac{4 - \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{4}}}{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{4 - 0}{1 - 0} = 4.

Passo 5

Interpretação rápida e regra prática (útil na prova): quando o numerador e o denominador são polinômios e têm o mesmo grau n, o limite quando x\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de grau n. Aqui ambos têm grau 4, o coeficiente de x^{4} no numerador é 4 e no denominador é 1, então o limite é 4/1=4. Esta observação coincide com o cálculo detalhado acima.

Resposta

4

Exercícios relacionados