Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre o valor (ou se mostre que não existe) do seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas no enunciado:
- A expressão é uma razão de polinômios construída a partir de
no numerador e no denominador. - A variável
tende a .
As perguntas são: qual é o limite (um número finito, infinito, ou não existe)?
Passo 2
Primeiro vou desenvolver (expandir) tanto o numerador quanto o denominador para ver claramente os termos de maior ordem em
.
Expandindo o numerador:
Agora o denominador: primeiro
. Multiplicando por
,
Portanto a função fica
Passo 3
Quando estudamos limite para
de uma razão de polinômios, o termo que domina o comportamento no infinito é o de maior grau (a maior potência de
). Aqui tanto numerador quanto denominador têm grau
(o maior expoente é
). Uma forma sistemática de tirar o limite é dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente) e observar os termos restantes.
Dividindo por
:
Passo 4
Agora uso um fato básico sobre limites de potências de
: para qualquer expoente positivo
,
Isto é intuitivo (quanto maior
, mais pequeno fica
) e pode ser formalizado por desigualdades simples. Aplicando isso aos termos acima,
Portanto, tomando limite na expressão do Passo 3, obtemos
Passo 5
Interpretação rápida e regra prática (útil na prova): quando o numerador e o denominador são polinômios e têm o mesmo grau
, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de grau
. Aqui ambos têm grau
, o coeficiente de
no numerador é
e no denominador é
, então o limite é
. Esta observação coincide com o cálculo detalhado acima.