Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão dentro da raiz é
. - A função raiz quadrada
só aceita argumentos não negativos (mas aqui veremos que o radicando é um quadrado, portanto não negativo). - O pedido é: determinar o limite quando
tende a , ou mostrar que o limite não existe.
Passo 2
Vamos simplificar o radicando. Note que ele é um quadrado perfeito. Reescrevendo:
Isto é uma identidade algébrica do tipo
com
e
.
Passo 3
Agora escrevemos a expressão original usando essa fatoração:
Aqui é importante lembrar uma propriedade básica da raiz quadrada: para todo número real
vale
pois a raiz quadrada retorna sempre o valor não negativo, e
é justamente o módulo de
(valor não negativo cujo quadrado é
).
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso obtemos
Então o limite pedido é equivalente a
Passo 5
Para avaliar
podemos usar continuidade. A função polinomial
é contínua em todo
e a função valor absoluto
também é contínua em todo
. A composição de funções contínuas é contínua, portanto
é contínua em todo
. Assim o limite quando
é simplesmente o valor da função em
.
Alternativamente, como
, existe um entorno de
onde
é positivo, então nessa vizinhança
e o limite coincide com
, que também é direto pela substituição.
Passo 6
Calculando diretamente:
Resposta
3