Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{x^{4}-2 x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2} \sqrt{x^{4}-2x^{2}+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão dentro da raiz é x^{4}-2x^{2}+1.
  • A função raiz quadrada \sqrt{\cdot} só aceita argumentos não negativos (mas aqui veremos que o radicando é um quadrado, portanto não negativo).
  • O pedido é: determinar o limite quando x tende a 2, ou mostrar que o limite não existe.

Passo 2

Vamos simplificar o radicando. Note que ele é um quadrado perfeito. Reescrevendo:
x^{4}-2x^{2}+1 = (x^{2})^{2}-2(x^{2})\cdot 1 + 1^{2} = (x^{2}-1)^{2}.
Isto é uma identidade algébrica do tipo a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2} com a=x^{2} e b=1.

Passo 3

Agora escrevemos a expressão original usando essa fatoração:
\sqrt{x^{4}-2x^{2}+1} = \sqrt{(x^{2}-1)^{2}}.
Aqui é importante lembrar uma propriedade básica da raiz quadrada: para todo número real t vale
\sqrt{t^{2}} = |t|,
pois a raiz quadrada retorna sempre o valor não negativo, e |t| é justamente o módulo de t (valor não negativo cujo quadrado é t^{2}).

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso obtemos
\sqrt{(x^{2}-1)^{2}} = |x^{2}-1|.
Então o limite pedido é equivalente a
\lim_{x\to 2} |x^{2}-1|.

Passo 5

Para avaliar \lim_{x\to 2} |x^{2}-1| podemos usar continuidade. A função polinomial x^{2}-1 é contínua em todo \mathbb{R} e a função valor absoluto t\mapsto |t| também é contínua em todo \mathbb{R}. A composição de funções contínuas é contínua, portanto x\mapsto |x^{2}-1| é contínua em todo \mathbb{R}. Assim o limite quando x\to 2 é simplesmente o valor da função em x=2.
Alternativamente, como 2^{2}-1=3>0, existe um entorno de 2 onde x^{2}-1 é positivo, então nessa vizinhança |x^{2}-1|=x^{2}-1 e o limite coincide com \lim_{x\to 2}(x^{2}-1), que também é direto pela substituição.

Passo 6

Calculando diretamente:
|2^{2}-1| = |4-1| = |3| = 3.

Resposta

3