Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \cos (x) \cdot \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \cos(x)\cdot\operatorname{sen}(x).
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função a estudar é f(x)=\cos(x)\cdot\operatorname{sen}(x).
  • O ponto de aproximação é x\to\frac{\pi}{2}.
    O que se quer: determinar o valor desse limite ou mostrar que ele não existe.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado útil sobre limites de produtos (explicando bem, passo a passo).
Teorema (regra do produto de limites): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=L\cdot M.
Isto é intuitivo: quando f(x) fica perto de L e g(x) perto de M, o produto fica perto de L\cdot M. Para aplicá-lo precisamos conhecer \lim_{x\to \pi/2}\cos(x) e \lim_{x\to \pi/2}\operatorname{sen}(x).

Passo 3

As funções seno e cosseno são funções trigonométricas contínuas em todos os pontos (continuidade significa que o limite no ponto é o próprio valor da função nesse ponto). Portanto, para x\to\frac{\pi}{2} vale
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos(x)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Agora avaliamos esses valores usando o círculo trigonométrico (ou tabelinha conhecida):
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do produto de limites (Passo 2) com os valores obtidos no Passo 3, obtemos
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos(x)\cdot\operatorname{sen}(x) = \left(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos(x)\right)\cdot\left(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\right) = 0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil na prova): se uma função h(x) satisfaz |h(x)|\le B(x) com B(x)\to 0, então h(x)\to 0 (teorema do confronto). Note que
\big|\cos(x)\operatorname{sen}(x)\big| = |\cos(x)|\cdot|\operatorname{sen}(x)| \le |\cos(x)|\cdot 1 = |\cos(x)|.
Como |\cos(x)|\to 0 quando x\to\frac{\pi}{2}, o produto também tende a 0. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

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