Encontre o limite ou mostre que ele não existe. \lim _{x \rightarrow-2} \frac{9 x-1}{x-3}.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -2}\frac{9x-1}{x-3}.
Informações dadas:
A função considerada é a função racional f(x)=\dfrac{9x-1}{x-3}.
O ponto onde se calcula o limite é x\to -2.
O que é pedido: encontrar o limite quando x se aproxima de -2, ou mostrar que esse limite não existe.
Passo 2
Entendendo o conceito e a estratégia (explicação didática).
Uma função tem limite em um ponto quando, ao aproximarmos a variável desse ponto, os valores da função se aproximam de um número finito.
Há um resultado prático muito útil: polinômios são funções contínuas em todo ponto, e quociente de duas funções contínuas é contínuo num ponto onde o denominador não é zero. Isso significa que, se a função é do tipo “polinômio dividido por polinômio” (uma função racional) e o denominador não se anula no ponto em questão, então o limite quando x tende a esse ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto — ou seja, basta substituir.
Em linguagem simples: se ao substituir x=-2 o denominador não virar 0, podemos calcular o limite apenas fazendo a substituição direta.
Passo 3
Verificar o denominador no ponto x=-2.
Calcular o denominador em x=-2:
x-3\big|_{x=-2} = -2-3 = -5.
Como -5\neq 0, o denominador não se anula em x=-2. Pela razão explicada no passo anterior, a função é contínua em x=-2 e o limite existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 4
Calcular o numerador e o denominador em x=-2 passo a passo.
Numerador:
Aqui simplificou-se o sinal negativo comum e obteve-se a fração irreduzível \dfrac{19}{5}.
Passo 6
Interpretação final e dica rápida.
O limite existe porque a função racional é contínua em x=-2 (denominador não nulo).
Dica para a prova: ao ver limite de função racional em um ponto, primeiro verifique se o denominador é zero. Se não for, aplique substituição direta; se for zero, aí sim use fatoração, regras de l’Hôpital (se aplicável) ou análise de limites laterais.