Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
se aproxima de
da função
Informações dadas:
- O numerador é a constante
. - O denominador é
.
A pergunta é: qual é o valor de, ou mostrar que esse limite não existe.
Passo 2
Observações importantes e intuitivas sobre a expressão:
-
é um número positivo fixo (aproximadamente ), então é uma constante maior que zero. - Para
, . Em o denominador é . - Quando
se aproxima de , a quantidade fica cada vez menor, portanto tende a e é sempre não negativa. Em notação: quando .
Passo 3
Intuição do que acontece com a fração: dividir uma constante positiva por um número positivo que vai para
produz um valor que cresce sem limite para
. Ou seja, quando o denominador fica muito pequeno e positivo, o quociente fica muito grande e positivo. Portanto esperamos que
Passo 4
Para deixar isso mais formal, faça a substituição
. Então
quando
e a expressão vira
Queremos mostrar que essa expressão cresce além de qualquer limite fixado. Ou seja, dado qualquer
(um número grande escolhido por nós), devemos encontrar
tal que, se
, então
.
Passo 5
Construa
em função de
. Resolva a desigualdade desejada:
Portanto basta escolher
Se
então
, o que implica
. Isso prova, pela definição de limite que diverge para infinito, que
Voltando à variável original
, obtemos
Passo 6
Interpretação final: o limite não existe como número real finito; ele diverge para
. Em linguagem de prova, diz-se que o limite é
.