Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{e^{5}}{(x-5)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x se aproxima de 5 da função
\frac{e^{5}}{(x-5)^{2}}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante \,e^{5}.
  • O denominador é (x-5)^{2}.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{e^{5}}{(x-5)^{2}}, ou mostrar que esse limite não existe.

Passo 2

Observações importantes e intuitivas sobre a expressão:
  • \,e^{5} é um número positivo fixo (aproximadamente 148{,}4), então é uma constante maior que zero.
  • Para x\neq 5, (x-5)^{2}>0. Em x=5 o denominador é 0.
  • Quando x se aproxima de 5, a quantidade |x-5| fica cada vez menor, portanto (x-5)^{2} tende a 0 e é sempre não negativa. Em notação: \,(x-5)^{2}\to 0^{+} quando x\to 5.

Passo 3

Intuição do que acontece com a fração: dividir uma constante positiva por um número positivo que vai para 0 produz um valor que cresce sem limite para +\infty. Ou seja, quando o denominador fica muito pequeno e positivo, o quociente fica muito grande e positivo. Portanto esperamos que
\frac{e^{5}}{(x-5)^{2}}\to +\infty\quad\text{quando }x\to 5.

Passo 4

Para deixar isso mais formal, faça a substituição t=x-5. Então t\to 0 quando x\to 5 e a expressão vira
\frac{e^{5}}{t^{2}}.
Queremos mostrar que essa expressão cresce além de qualquer limite fixado. Ou seja, dado qualquer M>0 (um número grande escolhido por nós), devemos encontrar \delta>0 tal que, se 0<|t|<\delta, então \dfrac{e^{5}}{t^{2}}>M.

Passo 5

Construa \delta em função de M. Resolva a desigualdade desejada:
\frac{e^{5}}{t^{2}}>M \quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}<\frac{e^{5}}{M}.
Portanto basta escolher
\delta=\sqrt{\frac{e^{5}}{M}}.
Se 0<|t|<\delta então t^{2}<\delta^{2}=\dfrac{e^{5}}{M}, o que implica \dfrac{e^{5}}{t^{2}}>M. Isso prova, pela definição de limite que diverge para infinito, que
\lim_{t\to 0}\frac{e^{5}}{t^{2}}=+\infty.
Voltando à variável original x, obtemos
\lim_{x\to 5}\frac{e^{5}}{(x-5)^{2}}=+\infty.

Passo 6

Interpretação final: o limite não existe como número real finito; ele diverge para +\infty. Em linguagem de prova, diz-se que o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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