Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+1}{x-3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular o limite \lim_{x\to 3^{+}} \dfrac{x+1}{x-3} ou mostrar que ele não existe.
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{x+1}{x-3}, que está definida para x\neq 3.
  • A aproximação é unicamente pelo lado direito de 3 (ou seja, x>3 e x\to 3).

Passo 2

Entender o comportamento das duas partes (numerador e denominador) quando x se aproxima de 3 pela direita:
  • O numerador é x+1. Quando x\to 3 temos x+1\to 4.
  • O denominador é x-3. Quando x\to 3^{+} o denominador tende a 0, mas como x>3 ele é positivo e tende a 0^{+}.

Passo 3

Uma forma prática e clara: faça a substituição x=3+h com h>0 e h\to 0^{+}. Então
\frac{x+1}{x-3}=\frac{(3+h)+1}{(3+h)-3}=\frac{4+h}{h}.
Aqui h\to0^{+}, portanto o numerador 4+h\to 4 (positivo próximo de 4) e o denominador h\to0^{+}.

Passo 4

Raciocínio informal do limite a partir da expressão \dfrac{4+h}{h}:
  • Para h muito pequeno e positivo, \dfrac{4+h}{h} é aproximadamente \dfrac{4}{h}, que cresce sem limite quando h vai a 0^{+}.
  • Além disso, como tanto 4+h quanto h são positivos para h>0, a fração é positiva e aumenta sem limite quando h diminui.
Por isso a expressão diverge para +\infty quando h\to0^{+}, ou seja quando x\to3^{+}.

Passo 5

Prova rigorosa no estilo “para todo M>0 existe \delta>0 tal que…” (mostrando divergência para +\infty):
  • Tome M>0 arbitrário. Escolha \delta=\min\!\left(1,\dfrac{4}{M}\right).
  • Se 0<x-3<\delta então 0<h<1 e, portanto, x=3+h\in(3,4), o que implica 4+h>4 e x+1=4+h<5 (apenas para evidenciar o intervalo; o que nos interessa é x+1>4).
  • Assim, para tais x,
\frac{x+1}{x-3}=\frac{4+h}{h}>\frac{4}{h}>\frac{4}{\delta}\ge \frac{4}{4/M}=M.
  • Logo, sempre que 0<x-3<\delta temos \dfrac{x+1}{x-3}>M. Isso mostra que a função cresce além de qualquer M quando x\to3^{+}. Portanto
\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x+1}{x-3}=+\infty.

Passo 6

Interpretação final: o limite é +\infty no sentido estendido (a função tende a crescer sem limite positivo). Se a pergunta exigir limite no conjunto dos números reais, pode-se dizer que o limite não existe como número real; porém normalmente escreve-se \lim_{x\to3^{+}}\dfrac{x+1}{x-3}=+\infty para indicar esse comportamento.

Resposta

+\infty

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