Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular o limite
ou mostrar que ele não existe. - A função considerada é
, que está definida para . - A aproximação é unicamente pelo lado direito de
(ou seja, e ).
Passo 2
Entender o comportamento das duas partes (numerador e denominador) quando
se aproxima de
pela direita:
- O numerador é
. Quando temos . - O denominador é
. Quando o denominador tende a , mas como ele é positivo e tende a .
Passo 3
Uma forma prática e clara: faça a substituição
com
e
. Então
Aqui
, portanto o numerador
(positivo próximo de
) e o denominador
.
Passo 4
Raciocínio informal do limite a partir da expressão
:
- Para
muito pequeno e positivo, é aproximadamente , que cresce sem limite quando vai a . - Além disso, como tanto
quanto são positivos para , a fração é positiva e aumenta sem limite quando diminui.
Por isso a expressão diverge para
quando
, ou seja quando
.
Passo 5
Prova rigorosa no estilo “para todo
existe
tal que…” (mostrando divergência para
):
- Tome
arbitrário. Escolha . - Se
então e, portanto, , o que implica e (apenas para evidenciar o intervalo; o que nos interessa é ). - Assim, para tais
,
- Logo, sempre que
temos . Isso mostra que a função cresce além de qualquer quando . Portanto
Passo 6
Interpretação final: o limite é
no sentido estendido (a função tende a crescer sem limite positivo). Se a pergunta exigir limite no conjunto dos números reais, pode-se dizer que o limite não existe como número real; porém normalmente escreve-se
para indicar esse comportamento.