Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
- O enunciado pede o valor do limite lateral esquerdo
- Informação dada: a função é a razão
. Não há outras condições ou imagens.
Passo 2
Explicar o que significa limite lateral esquerdo e o que procuramos aqui.
- A notação
significa que se aproxima de vindo pela esquerda, ou seja, por valores que se aproximam de . - Quando dizemos que o limite vale
ou estamos dizendo que a função cresce em módulo sem limite e tem sinal positivo ou negativo respectivamente; nesse caso dizemos também que não existe um limite finito.
Passo 3
Analisar o comportamento de numerador e denominador quando
.
- Numerador: quando
tem-se . Em particular, para próximos de (vindos da esquerda) o numerador é próximo de e portanto positivo. - Denominador: quando
tem-se . Se , então , ou seja, o denominador tende a vindo do lado negativo (valor pequeno em módulo e negativo).
Logo, perto de
pela esquerda, a fração tem numerador positivo e denominador negativo com módulo tendendo a zero — o quociente tende a um número com grande módulo e sinal negativo.
Passo 4
Fazer uma substituição para ver isso de maneira mais clara (método padrão para limites laterais em assíntotas verticais).
Coloque
. Então
quando
e
equivale a
. Expressar a função em termos de
:
Portanto
Passo 5
Analisar o limite quando
.
- Quando
temos . - Então
. - Multiplicando por
obtém-se
Logo a expressão tende para
quando
, isto é, quando
.
Passo 6
Intuição numérica rápida (verificação): tomar valores de
cada vez mais próximos de
pela esquerda.
- Para
: . - Para
: . - Para
: aproximadamente .
Esses números confirmam que a função fica negativa e com módulo cada vez maior ao aproximar-se de
pela esquerda.
Passo 7
Conclusão: o limite lateral esquerdo diverge para
. Em particular não existe um limite finito.