Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+1}{x-3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • O enunciado pede o valor do limite lateral esquerdo
\lim_{x\to 3^{-}} \frac{x+1}{x-3}.
  • Informação dada: a função é a razão \dfrac{x+1}{x-3}. Não há outras condições ou imagens.

Passo 2

Explicar o que significa limite lateral esquerdo e o que procuramos aqui.
  • A notação \lim_{x\to 3^{-}} significa que x se aproxima de 3 vindo pela esquerda, ou seja, por valores x<3 que se aproximam de 3.
  • Quando dizemos que o limite vale +\infty ou -\infty estamos dizendo que a função cresce em módulo sem limite e tem sinal positivo ou negativo respectivamente; nesse caso dizemos também que não existe um limite finito.

Passo 3

Analisar o comportamento de numerador e denominador quando x\to 3^{-}.
  • Numerador: quando x\to 3 tem-se x+1 \to 4. Em particular, para x próximos de 3 (vindos da esquerda) o numerador é próximo de 4 e portanto positivo.
  • Denominador: quando x\to 3 tem-se x-3 \to 0. Se x<3, então x-3<0, ou seja, o denominador tende a 0 vindo do lado negativo (valor pequeno em módulo e negativo).
Logo, perto de 3 pela esquerda, a fração tem numerador positivo e denominador negativo com módulo tendendo a zero — o quociente tende a um número com grande módulo e sinal negativo.

Passo 4

Fazer uma substituição para ver isso de maneira mais clara (método padrão para limites laterais em assíntotas verticais).
Coloque h = 3 - x. Então h>0 quando x<3 e x\to 3^{-} equivale a h\to 0^{+}. Expressar a função em termos de h:
x = 3 - h, \qquad x+1 = 4 - h, \qquad x-3 = -h.
Portanto
\frac{x+1}{x-3} = \frac{4-h}{-h} = -\frac{4-h}{h} = -\left(\frac{4}{h}-1\right).

Passo 5

Analisar o limite quando h\to 0^{+}.
  • Quando h\to 0^{+} temos \dfrac{4}{h}\to +\infty.
  • Então \dfrac{4}{h}-1 \to +\infty.
  • Multiplicando por -1 obtém-se
-\left(\frac{4}{h}-1\right)\to -\infty.
Logo a expressão tende para -\infty quando h\to 0^{+}, isto é, quando x\to 3^{-}.

Passo 6

Intuição numérica rápida (verificação): tomar valores de x cada vez mais próximos de 3 pela esquerda.
  • Para x=2{,}9: \dfrac{2{,}9+1}{2{,}9-3}=\dfrac{3{,}9}{-0{,}1}=-39.
  • Para x=2{,}99: \dfrac{3{,}99}{-0{,}01}\approx -399.
  • Para x=2{,}999: aproximadamente -3999.
Esses números confirmam que a função fica negativa e com módulo cada vez maior ao aproximar-se de 3 pela esquerda.

Passo 7

Conclusão: o limite lateral esquerdo diverge para -\infty. Em particular não existe um limite finito.

Resposta

-\infty

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