Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2 x+1}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2x+1}.
Informações dadas e o que se busca:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{2x+1}.
  • Quer-se saber o comportamento de f(x) quando x cresce sem limite, isto é, quando x\to\infty.
  • Observação útil: o denominador 2x+1 anula-se em x=-\tfrac{1}{2}, mas isso não importa para a limite em x\to\infty (estamos olhando a região de x grande e positiva).

Passo 2

Escolhemos um método algébrico simples: dividir numerador e denominador por x (isso é legítimo para x\neq0; ao passar para o limite x\to\infty estamos interessados em valores de x grandes, portanto não nulos). Aplicando a divisão por x obtemos a forma
\frac{1}{2x+1}=\frac{1/x}{2+1/x}.

Passo 3

Agora usamos propriedades de limites elementares: se \lim_{x\to\infty}g(x) e \lim_{x\to\infty}h(x) existem e \lim_{x\to\infty}h(x)\neq0, então
\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\lim_{x\to\infty}g(x)}{\lim_{x\to\infty}h(x)}.
Aplicando isso com g(x)=1/x e h(x)=2+1/x, notamos que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\bigl(2+\tfrac{1}{x}\bigr)=2.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2+1/x}=\frac{0}{2}=0.

Passo 4

Para reforçar a intuição, apresento um argumento por aperto (squeeze): para x>0 vale 2x+1>2x, então
0<\frac{1}{2x+1}<\frac{1}{2x}.
Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2x}=0, pelo Teorema do Aperto segue que \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2x+1}=0. Isso confirma o resultado anterior e dá uma visão geométrica: o denominador cresce, a fração vai para zero.

Resposta

0

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