Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é a diferença de potências
. - O ponto onde se toma o limite é
.
A pergunta é: esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor? Caso não exista, mostrar que não existe (por exemplo, divergência paraou ).
Passo 2
Ideia teórica importante (explicada devagarinho):
- Para um polinômio qualquer
com e , o comportamento quando é dominado pelo termo de maior grau . Em palavras: os termos de menor grau ficam cada vez menos importantes comparados com . - Uma forma concreta de ver isso é dividir tudo por
:
Aqui, quando
cada fração
tende a
(porque
). Assim o parêntese tende a
, e como
(para
), o sinal de
determina se o polinômio vai para
(se
) ou para
(se
).
- Outra forma comum é fatorar a maior potência em comum. Ambas as formas são equivalentes e ajudam a ver a dominância do termo principal.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso:
a função é . O termo de maior grau é
com coeficiente
, portanto esperamos crescimento para
. Vamos demonstrar de maneira elementar por fatoração.
a função é
Fatorando a maior potência comum
:
Agora analisa-se o comportamento quando
:
- Para
tem-se . - Também
. - O produto de dois fatores que tendem a
tende a .
Uma versão alternativa (equivalente) é dividir por
:
Aqui
quando
, e
; produto de algo que tende a
(não nulo) com algo que tende a
também tende a
. Ambas as análises mostram que a expressão cresce sem limite positivo.
Passo 4
Cheque numérico rápido para intuir o crescimento:
Os valores já são grandes e crescem muito rápido quando
aumenta, coerente com a conclusão anterior.
Passo 5
Conclusão: como o termo de maior grau tem coeficiente positivo e domina o comportamento para
, a expressão diverge para
. Seja por fatoração ou por divisão pelo maior grau, obtemos a mesma conclusão.