Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} x^{5}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \to \infty} x^{5}-x^{4}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a diferença de potências \,x^{5}-x^{4}.
  • O ponto onde se toma o limite é x \to \infty.
    A pergunta é: esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor? Caso não exista, mostrar que não existe (por exemplo, divergência para +\infty ou -\infty).

Passo 2

Ideia teórica importante (explicada devagarinho):
  • Para um polinômio qualquer \,p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 com a_n\neq0 e n\ge1, o comportamento quando x\to\infty é dominado pelo termo de maior grau a_n x^n. Em palavras: os termos de menor grau ficam cada vez menos importantes comparados com x^n.
  • Uma forma concreta de ver isso é dividir tudo por x^n:
p(x)=x^n\left(a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \cdots + \frac{a_0}{x^n}\right).
Aqui, quando x\to\infty cada fração \dfrac{a_k}{x^{n-k}} tende a 0 (porque n-k>0). Assim o parêntese tende a a_n, e como x^n\to\infty (para n\ge1), o sinal de a_n determina se o polinômio vai para +\infty (se a_n>0) ou para -\infty (se a_n<0).
  • Outra forma comum é fatorar a maior potência em comum. Ambas as formas são equivalentes e ajudam a ver a dominância do termo principal.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso:
a função é \,x^{5}-x^{4}. O termo de maior grau é \,x^5 com coeficiente 1>0, portanto esperamos crescimento para +\infty. Vamos demonstrar de maneira elementar por fatoração.
Fatorando a maior potência comum x^4:
x^{5}-x^{4}=x^{4}(x-1).
Agora analisa-se o comportamento quando x\to\infty:
  • Para x\to\infty tem-se \,x^{4}\to\infty.
  • Também \,x-1\to\infty.
  • O produto de dois fatores que tendem a +\infty tende a +\infty.
Uma versão alternativa (equivalente) é dividir por x^5:
x^{5}-x^{4}=x^{5}\left(1-\frac{1}{x}\right).
Aqui \,1-\dfrac{1}{x}\to 1 quando x\to\infty, e \,x^5\to\infty; produto de algo que tende a 1 (não nulo) com algo que tende a +\infty também tende a +\infty. Ambas as análises mostram que a expressão cresce sem limite positivo.

Passo 4

Cheque numérico rápido para intuir o crescimento:
10^{5}-10^{4}=100000-10000=90000,
100^{5}-100^{4}=10^{10}-10^{8}=9900000000.
Os valores já são grandes e crescem muito rápido quando x aumenta, coerente com a conclusão anterior.

Passo 5

Conclusão: como o termo de maior grau tem coeficiente positivo e domina o comportamento para x\to\infty, a expressão diverge para +\infty. Seja por fatoração ou por divisão pelo maior grau, obtemos a mesma conclusão.

Resposta

+\infty

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