Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Ou seja, preciso determinar
As informações dadas são os dois termos da soma:
e
. Vou avaliar separadamente o limite de cada termo e depois combinar os resultados.
Passo 2
Lembrete prático (teorema de soma de limites): se existem e são finitos os limites
então
Vou usar isso: calcular os limites de
e de
separadamente e somá-los.
Passo 3
Calcular
.
Observação útil:
. A função
é crescente e tende a infinito quando
; ou seja,
Quando o denominador tende a infinito, o recíproco tende a zero. Logo
Intuição: a exponencial cresce muito rápido, então
fica cada vez menor, indo para zero.
Passo 4
Calcular
.
A função
tende a infinito quando
, isto é,
Novamente, o recíproco de algo que tende a infinito tende a zero. Portanto
Intuição: potências positivas de
crescem sem limite, então
decresce até zero.
Passo 5
Aplicando a regra da soma de limites (Passo 2) com os resultados dos Passos 3 e 4:
Passo 6
Conclusão final e dica rápida: ambos os termos vão para zero quando
cresce muito; a exponencial decai (no caso
) e a potência também, então a soma vai para zero. Se ficar nervoso na prova, basta lembrar: exponencial no denominador → 0; potência no denominador → 0; some os zeros.