Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}+\frac{1}{x^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to\infty da expressão
e^{-x}+\frac{1}{x^{4}}.
Ou seja, preciso determinar
\lim_{x\to\infty}\left(e^{-x}+\frac{1}{x^{4}}\right).
As informações dadas são os dois termos da soma: e^{-x} e \dfrac{1}{x^{4}}. Vou avaliar separadamente o limite de cada termo e depois combinar os resultados.

Passo 2

Lembrete prático (teorema de soma de limites): se existem e são finitos os limites
\lim_{x\to\infty} f(x)=L\quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty} g(x)=M,
então
\lim_{x\to\infty}\big(f(x)+g(x)\big)=L+M.
Vou usar isso: calcular os limites de e^{-x} e de \dfrac{1}{x^{4}} separadamente e somá-los.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} e^{-x}.
Observação útil: e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}. A função e^{x} é crescente e tende a infinito quando x\to\infty; ou seja,
\lim_{x\to\infty} e^{x} = \infty.
Quando o denominador tende a infinito, o recíproco tende a zero. Logo
\lim_{x\to\infty} e^{-x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}} = 0.
Intuição: a exponencial cresce muito rápido, então 1/e^{x} fica cada vez menor, indo para zero.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x^{4}}.
A função x^{4} tende a infinito quando x\to\infty, isto é,
\lim_{x\to\infty} x^{4} = \infty.
Novamente, o recíproco de algo que tende a infinito tende a zero. Portanto
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{4}} = 0.
Intuição: potências positivas de x crescem sem limite, então 1/x^{4} decresce até zero.

Passo 5

Aplicando a regra da soma de limites (Passo 2) com os resultados dos Passos 3 e 4:
\lim_{x\to\infty}\left(e^{-x}+\frac{1}{x^{4}}\right) = \lim_{x\to\infty} e^{-x} + \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{4}} = 0 + 0 = 0.

Passo 6

Conclusão final e dica rápida: ambos os termos vão para zero quando x cresce muito; a exponencial decai (no caso e^{-x}) e a potência também, então a soma vai para zero. Se ficar nervoso na prova, basta lembrar: exponencial no denominador → 0; potência no denominador → 0; some os zeros.

Resposta

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