Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações e observações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão é o produto de duas partes:
e . - A função
é limitada: para todo vale . - A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Note que
então para próximo de (mais precisamente para ) o produto , logo a raiz está bem definida nesse vizinhança de . - O valor da expressão em
não está definido (porque não existe em ), mas para calcular o limite isso não é problema: precisamos apenas da definição em pontos arbitrariamente próximos de , .
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática):
- Usar o fato de que
é limitada entre e . Assim o produto ficará “preso” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, se conseguirmos mostrar que a parte com a raiz vai a zero. - Aplicar o Teorema do Aperto (Teorema do Confronto / Squeeze theorem): se para todos
próximos de tivermos e , então .
Vou usar isso aqui: mostrar que a magnitude da expressão é menor ou igual a, e então mostrar que essa última tende a .
Passo 3
Análise da raiz e comportamento quando
.
- Factorizei o radicando:
- Para
temos e , então e a raiz é real. Para próximo de (omitindo se quiser), podemos escrever Aqui é o valor absoluto de . - A função
é contínua em e . Logo - Portanto
porque .
Passo 4
Aplicação do teorema do aperto (squeeze) para o produto com
.
- Para todo
em uma vizinhança de vale . Multiplicando por obtemos - Já mostramos no Passo 3 que
- Pelo Teorema do Aperto, a função entre essas duas também tem limite
. Ou seja,
Passo 5
Intuição adicional (para fixar a ideia):
- A parte
oscila rapidamente entre e quando . Mas essa oscilação é multiplicada por uma “amplitude” que vai para . Então, mesmo que o seno continue oscilando, a amplitude da oscilação vai ficando cada vez menor, forçando o produto a zero. - Exemplos de sequências ilustrativas:
- Se
então e o produto é para todos . - Se
então e , mas , então o produto ainda tende a .
Esses exemplos mostram diferentes comportamentos do seno, mas a amplitude que multiplica sempre anula a contribuição no limite.
- Se
Resposta
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