Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
Informações e observações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão é o produto de duas partes: \sqrt{x^{3}+x^{2}} e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right).
  • A função \operatorname{sen} é limitada: para todo t vale -1\le \operatorname{sen} t\le 1.
  • A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Note que x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1),então para x próximo de 0 (mais precisamente para -1<x<1) o produto x^{2}(x+1)\ge 0, logo a raiz está bem definida nesse vizinhança de 0.
  • O valor da expressão em x=0 não está definido (porque \operatorname{sen}(\pi/x) não existe em x=0), mas para calcular o limite isso não é problema: precisamos apenas da definição em pontos arbitrariamente próximos de 0, x\neq 0.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática):
  • Usar o fato de que \operatorname{sen} é limitada entre -1 e 1. Assim o produto ficará “preso” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, se conseguirmos mostrar que a parte com a raiz vai a zero.
  • Aplicar o Teorema do Aperto (Teorema do Confronto / Squeeze theorem): se para todos x próximos de 0 tivermos g(x)\le f(x)\le h(x)e \lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} h(x)=L, então \lim_{x\to 0} f(x)=L.
    Vou usar isso aqui: mostrar que a magnitude da expressão é menor ou igual a \sqrt{x^{3}+x^{2}}, e então mostrar que essa última tende a 0.

Passo 3

Análise da raiz e comportamento quando x\to 0.
  • Factorizei o radicando: x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
  • Para -1<x<1 temos x+1>0 e x^{2}\ge 0, então x^{3}+x^{2}\ge 0 e a raiz é real. Para x próximo de 0 (omitindo x=0 se quiser), podemos escrever \sqrt{x^{3}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}(x+1)}=\lvert x\rvert\sqrt{x+1}.Aqui \lvert x\rvert é o valor absoluto de x.
  • A função \sqrt{x+1} é contínua em x=0 e \sqrt{0+1}=1. Logo \lim_{x\to 0}\sqrt{x+1}=1.
  • Portanto \lim_{x\to 0}\sqrt{x^{3}+x^{2}}=\lim_{x\to 0}\lvert x\rvert\sqrt{x+1}=\left(\lim_{x\to 0}\lvert x\rvert\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\sqrt{x+1}\right)=0\cdot 1=0,porque \lim_{x\to 0}\lvert x\rvert=0.

Passo 4

Aplicação do teorema do aperto (squeeze) para o produto com \operatorname{sen}(\pi/x).
  • Para todo x\neq 0 em uma vizinhança de 0 vale -1\le \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\le 1. Multiplicando por \sqrt{x^{3}+x^{2}}\ge 0 obtemos -\sqrt{x^{3}+x^{2}}\le \sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\le \sqrt{x^{3}+x^{2}}.
  • Já mostramos no Passo 3 que \lim_{x\to 0}\left(-\sqrt{x^{3}+x^{2}}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}\sqrt{x^{3}+x^{2}}=0.
  • Pelo Teorema do Aperto, a função entre essas duas também tem limite 0. Ou seja, \lim_{x\to 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)=0.

Passo 5

Intuição adicional (para fixar a ideia):
  • A parte \operatorname{sen}(\pi/x) oscila rapidamente entre -1 e 1 quando x\to 0. Mas essa oscilação é multiplicada por uma “amplitude” \sqrt{x^{3}+x^{2}} que vai para 0. Então, mesmo que o seno continue oscilando, a amplitude da oscilação vai ficando cada vez menor, forçando o produto a zero.
  • Exemplos de sequências ilustrativas:
    • Se x_n=\dfrac{1}{n} então \operatorname{sen}(\pi/x_n)=\operatorname{sen}(\pi n)=0 e o produto é 0 para todos n.
    • Se x_n=\dfrac{2}{(2n+1)} então \dfrac{\pi}{x_n}=\dfrac{\pi(2n+1)}{2} e \operatorname{sen}(\pi/x_n)=\pm 1, mas \sqrt{x_n^{3}+x_n^{2}}\to 0, então o produto ainda tende a 0.
      Esses exemplos mostram diferentes comportamentos do seno, mas a amplitude que multiplica sempre anula a contribuição no limite.

Resposta

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