Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
.
Passo 1
Primeiro vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado pede: encontrar o limite
ou mostrar que ele não existe. - A função dada é
. - Informação útil que já conhecemos: a função
satisfaz para todo .
Nada mais é fornecido. A seguir eu vou usar essa desigualdade e um teorema clássico de limites para concluir o valor do limite.
Passo 2
Vou usar uma desigualdade simples obtida da propriedade de
. Como
para todo
(exceto possivelmente
, onde
não está definido, mas o limite é preso por valores próximos a
), multiplico essa desigualdade por
.
Note que para todo
real temos
(potência par), então ao multiplicar por
a desigualdade mantém o sentido. Assim obtemos:
Passo 3
Agora analiso os limites das funções que aparecem nas duas bordas da desigualdade, ou seja
e
, quando
.
A função potência
é contínua e
quando
. Portanto
Passo 4
Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem): se uma função
satisfaz
para
próximo de
e as duas funções
e
têm limite
quando
, então
também tem limite
.
No caso
, pelas desigualdades e pelos limites das bordas, segue:
Passo 5
Comentário didático e geral (para fixar a ideia): a razão da técnica é simples — mesmo que
oscile violentamente quando
, essa oscilação fica multiplicada por
, que tende muito rapidamente a zero; como
é limitada em magnitude por
, o produto é “apertado” entre
e
, ambos tendendo a zero. Daí o limite do produto é zero. Esse mesmo argumento funciona para qualquer potência positiva: para qualquer
,
Resposta
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