Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{2}{x}\right).

Passo 1

Primeiro vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado pede: encontrar o limite \lim_{x\to 0} x^{4}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right) ou mostrar que ele não existe.
  • A função dada é f(x)=x^{4}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right).
  • Informação útil que já conhecemos: a função \cos(t) satisfaz -1 \le \cos(t) \le 1 para todo t.
    Nada mais é fornecido. A seguir eu vou usar essa desigualdade e um teorema clássico de limites para concluir o valor do limite.

Passo 2

Vou usar uma desigualdade simples obtida da propriedade de \cos. Como -1 \le \cos\!\left(\frac{2}{x}\right) \le 1 para todo x (exceto possivelmente x=0, onde \cos(2/x) não está definido, mas o limite é preso por valores próximos a 0), multiplico essa desigualdade por x^{4}.
Note que para todo x real temos x^{4}\ge 0 (potência par), então ao multiplicar por x^{4} a desigualdade mantém o sentido. Assim obtemos:
-\,x^{4}\le x^{4}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\le x^{4}.

Passo 3

Agora analiso os limites das funções que aparecem nas duas bordas da desigualdade, ou seja -x^{4} e x^{4}, quando x\to 0.
A função potência x\mapsto x^{4} é contínua e x^{4}\to 0 quando x\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0} x^{4}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} -x^{4}=0.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem): se uma função g(x) satisfaz -x^{4}\le g(x)\le x^{4} para x próximo de 0 e as duas funções -x^{4} e x^{4} têm limite 0 quando x\to 0, então g(x) também tem limite 0.
No caso g(x)=x^{4}\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right), pelas desigualdades e pelos limites das bordas, segue:
\lim_{x\to 0} x^{4}\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)=0.

Passo 5

Comentário didático e geral (para fixar a ideia): a razão da técnica é simples — mesmo que \cos\!\left(\frac{2}{x}\right) oscile violentamente quando x\to 0, essa oscilação fica multiplicada por x^{4}, que tende muito rapidamente a zero; como \cos é limitada em magnitude por 1, o produto é “apertado” entre -x^{4} e x^{4}, ambos tendendo a zero. Daí o limite do produto é zero. Esse mesmo argumento funciona para qualquer potência positiva: para qualquer \alpha>0,
\lim_{x\to 0} x^{\alpha}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

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