Encontre a matriz X que satisfaz: X A-B A=A B, sendo A=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], e B=\left[\begin{array}{rr}2 & 0 \\\\ -2 & 4\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação
X A - B A = A B,
onde estão dadas as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
Assim, a única pergunta é: calcular explicitamente a matriz X que torna a igualdade verdadeira, usando os dados acima.]

Passo 2

Vamos observar a estrutura da equação. Podemos fatorar A à direita no lado esquerdo porque a multiplicação de matrizes é distributiva:
X A - B A = (X - B)A.
Portanto a equação fica
(X - B)A = A B.
Essa forma é útil porque, se A for invertível, podemos multiplicar à direita por A^{-1} para “cancelar” o A e isolar X-B.

Passo 3

Antes de “cancelar” A, precisamos verificar se A é invertível. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det = ad-bc. Se \det\neq 0 então a matriz é invertível. No nosso caso, para A temos
\det(A)=1\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = 1+2 = 3.
Como \det(A)=3\neq 0, A é invertível e podemos usar A^{-1}.

Passo 4

Lembrete prático: a inversa de uma 2\times2 é dada por
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando isso a A (onde a=1, b=-2, c=1, d=1) obtemos
A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplicamos a equação (X-B)A=AB à direita por A^{-1}. Pelo associativo e pelo fato de A A^{-1}=I, isso resulta em
X-B = A B A^{-1}.
Portanto
X = B + A B A^{-1}.
Nossa tarefa prática é calcular A B, depois A B A^{-1} e somar com B.

Passo 6

Calculemos AB multiplicando A por B. Faça cada entrada como produto linha por coluna:
Primeira linha, primeira coluna:
1\cdot 2 + (-2)\cdot(-2) = 2 + 4 = 6.
Primeira linha, segunda coluna:
1\cdot 0 + (-2)\cdot 4 = 0 - 8 = -8.
Segunda linha, primeira coluna:
1\cdot 2 + 1\cdot(-2) = 2 - 2 = 0.
Segunda linha, segunda coluna:
1\cdot 0 + 1\cdot 4 = 4.
Logo
A B = \begin{pmatrix}6 & -8\\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calculemos A B A^{-1}. Usamos A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}. Primeiro fazemos o produto AB\cdot (matriz dentro), e depois multiplicamos por 1/3.
Computando AB\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}:
Entrada (1,1):
6\cdot 1 + (-8)\cdot(-1) = 6 + 8 = 14.
Entrada (1,2):
6\cdot 2 + (-8)\cdot 1 = 12 - 8 = 4.
Entrada (2,1):
0\cdot 1 + 4\cdot(-1) = -4.
Entrada (2,2):
0\cdot 2 + 4\cdot 1 = 4.
Assim
AB\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 4\\[4pt]-4 & 4\end{pmatrix}.
Multiplicando por 1/3 (o fator de A^{-1}) obtemos
A B A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}14 & 4\\[4pt]-4 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}14/3 & 4/3\\[4pt]-4/3 & 4/3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Finalmente somamos B com A B A^{-1}. Lembrando B=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}, somamos entrada a entrada:
Entrada (1,1):
2 + \frac{14}{3} = \frac{6+14}{3} = \frac{20}{3}.
Entrada (1,2):
0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}.
Entrada (2,1):
-2 + \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{6+4}{3} = -\frac{10}{3}.
Entrada (2,2):
4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3}.
Portanto
X=\begin{pmatrix}20/3 & 4/3\\[4pt]-10/3 & 16/3\end{pmatrix}.]

Passo 9

Breve verificação conceitual (sem cálculos detalhados): como construímos X por X=B+ABA^{-1}, temos (X-B)A = (ABA^{-1})A = AB(A^{-1}A)=AB, portanto a igualdade original é satisfeita — confirmação de que o raciocínio algébrico está correto.

Resposta

X=\begin{pmatrix}20/3 & 4/3\\[4pt]-10/3 & 16/3\end{pmatrix}]

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