Encontre a matriz X que satisfaz: X A-B A=A B, sendo A=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], e B=\left[\begin{array}{rr}2 & 0 \\\\ -2 & 4\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação
Agora multiplicamos a equação (X-B)A=AB à direita por A^{-1}. Pelo associativo e pelo fato de A A^{-1}=I, isso resulta em
X-B = A B A^{-1}.
Portanto
X = B + A B A^{-1}.
Nossa tarefa prática é calcular A B, depois A B A^{-1} e somar com B.
Passo 6
Calculemos AB multiplicando A por B. Faça cada entrada como produto linha por coluna:
Primeira linha, primeira coluna:
1\cdot 2 + (-2)\cdot(-2) = 2 + 4 = 6.
Primeira linha, segunda coluna:
1\cdot 0 + (-2)\cdot 4 = 0 - 8 = -8.
Segunda linha, primeira coluna:
1\cdot 2 + 1\cdot(-2) = 2 - 2 = 0.
Segunda linha, segunda coluna:
1\cdot 0 + 1\cdot 4 = 4.
Logo
A B = \begin{pmatrix}6 & -8\\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]
Passo 7
Agora calculemos A B A^{-1}. Usamos A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}. Primeiro fazemos o produto AB\cdot (matriz dentro), e depois multiplicamos por 1/3.
Breve verificação conceitual (sem cálculos detalhados): como construímos X por X=B+ABA^{-1}, temos (X-B)A = (ABA^{-1})A = AB(A^{-1}A)=AB, portanto a igualdade original é satisfeita — confirmação de que o raciocínio algébrico está correto.