Encontre os polos e os zeros das funções:
\frac{s^{2}+1}{s^{3}+7 s^{2}+17 s+15}

Passo 1

O enunciado pede os zeros e os polos da função racional
\frac{s^{2}+1}{s^{3}+7 s^{2}+17 s+15}.
Informações dadas:
  • Numerador: \,s^{2}+1.
  • Denominador: \,s^{3}+7s^{2}+17s+15.
O que se deve devolver:
  • Os zeros (raízes do numerador que não são anuladas por cancelamento com o denominador).
  • Os polos (raízes do denominador que não são anuladas por cancelamento com o numerador).

Passo 2

Relembrando de forma prática (aula rápida):
  • Zero da função racional: valor de s tal que o numerador é zero, desde que esse fator não cancele com o denominador.
  • Polo da função racional: valor de s tal que o denominador é zero, desde que esse fator não seja cancelado por um fator igual no numerador.
    Vamos primeiro achar as raízes do numerador e depois as do denominador; em seguida verificamos se há cancelamentos.

Passo 3

Encontrar os zeros: resolver \,s^{2}+1=0.
s^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad s=\pm i.
Portanto os zeros da função são \,s= i e \,s=-i.
(Explicação: reconhecimento direto de que s^{2}+1 tem raízes imaginárias puras \pm i.)

Passo 4

Encontrar as raízes do denominador \,s^{3}+7s^{2}+17s+15.
Vamos procurar raízes racionais possíveis pelo Teorema das Raízes Racionais: candidatos são divisores de 15, ou seja \pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15. Testamos alguns deles.
Testando s=-3:
(-3)^{3}+7(-3)^{2}+17(-3)+15 = -27+63-51+15 = 0.
Logo \,s=-3 é raiz do denominador, isto é, (s+3) é um fator.

Passo 5

Fatorar o polinômio dividindo pelo fator (s+3). Faço divisão sintética com coeficientes 1,\;7,\;17,\;15 e raiz -3:
\begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 7 & 17 & 15\\\ & & -3 & -12 & -15\\hline & 1 & 4 & 5 & 0 \end{array}
O resto é zero e o quociente tem coeficientes 1,\;4,\;5, ou seja o quociente é s^{2}+4s+5. Portanto
s^{3}+7s^{2}+17s+15=(s+3)(s^{2}+4s+5).

Passo 6

Resolver as raízes de s^{2}+4s+5=0 usando a fórmula quadrática.
Calcular o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot 5 = 16-20 = -4.
Como \Delta=-4, as raízes são complexas conjugadas:
s = \frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{-4\pm 2i}{2} = -2\pm i.

Passo 7

Resumo das raízes do denominador: \,s=-3,\;s=-2+i,\;s=-2-i.
Agora verificar cancelamentos possíveis: o numerador é s^{2}+1 cujas raízes são \pm i. O denominador fatorado é (s+3)(s^{2}+4s+5). O polinômio s^{2}+4s+5 não é proporcional a s^{2}+1 e não tem raízes \pm i (suas raízes são -2\pm i). Logo não há fator em comum; não há cancelamento. Portanto todos os zeros e polos encontrados são efetivos e simples (multiplicidade 1).

Passo 8

Interpretação rápida (motivacional): zeros em \pm i estão na linha imaginária; polos em -3 e -2\pm i estão no semiplano esquerdo (parte real negativa), o que em contextos de sistemas sugere estabilidade — só uma observação extra para fixar a localização no plano complexo.

Resposta

Zeros: s= i,\; s=-i
Polos: s=-3,\; s=-2+i,\; s=-2-i

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