Encontre os polos e os zeros das funções:
Passo 1
O enunciado pede os zeros e os polos da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
- Denominador:
O que se deve devolver:
- Os zeros (raízes do numerador que não são anuladas por cancelamento com o denominador).
- Os polos (raízes do denominador que não são anuladas por cancelamento com o numerador).
Passo 2
Relembrando de forma prática (aula rápida):
- Zero da função racional: valor de
tal que o numerador é zero, desde que esse fator não cancele com o denominador. - Polo da função racional: valor de
tal que o denominador é zero, desde que esse fator não seja cancelado por um fator igual no numerador.
Vamos primeiro achar as raízes do numerador e depois as do denominador; em seguida verificamos se há cancelamentos.
Passo 3
Encontrar os zeros: resolver
Portanto os zeros da função são
e
(Explicação: reconhecimento direto de que tem raízes imaginárias puras
.)
(Explicação: reconhecimento direto de que
Passo 4
Encontrar as raízes do denominador
Vamos procurar raízes racionais possíveis pelo Teorema das Raízes Racionais: candidatos são divisores de , ou seja
Testamos alguns deles.
Vamos procurar raízes racionais possíveis pelo Teorema das Raízes Racionais: candidatos são divisores de
Testando
:
Logo
é raiz do denominador, isto é,
é um fator.
Passo 5
Fatorar o polinômio dividindo pelo fator
. Faço divisão sintética com coeficientes
e raiz
:
O resto é zero e o quociente tem coeficientes
, ou seja o quociente é
Portanto
Passo 6
Resolver as raízes de
usando a fórmula quadrática.
Calcular o discriminante:
Calcular o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 7
Resumo das raízes do denominador:
Agora verificar cancelamentos possíveis: o numerador é
cujas raízes são
. O denominador fatorado é
. O polinômio
não é proporcional a
e não tem raízes
(suas raízes são
). Logo não há fator em comum; não há cancelamento. Portanto todos os zeros e polos encontrados são efetivos e simples (multiplicidade 1).
Passo 8
Interpretação rápida (motivacional): zeros em
estão na linha imaginária; polos em
e
estão no semiplano esquerdo (parte real negativa), o que em contextos de sistemas sugere estabilidade — só uma observação extra para fixar a localização no plano complexo.
Resposta
Zeros:
Polos:
Polos: