Encontre os polos e os zeros das funções:
\frac{8 s^{2}+32 s+24}{s^{3}+6 s^{2}+8 s}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
F(s)=\frac{8 s^{2}+32 s+24}{s^{3}+6 s^{2}+8 s}
e pede para encontrar os zeros e os polos dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é 8 s^{2}+32 s+24.
  • O denominador é s^{3}+6 s^{2}+8 s.
    As perguntas são: (1) quais são os zeros (valores de s que anulam o numerador, desde que não anulem também o denominador) e (2) quais são os polos (valores de s que anulam o denominador, desde que não anulem também o numerador).

Passo 2

O que significa zero e polo e como vamos proceder (explicação didática):
  • Zero: é uma raiz do numerador. Ou seja, é qualquer s tal que o numerador seja zero e o denominador seja diferente de zero. Para encontrar, resolve-se a equação do numerador igual a zero.
  • Polo: é uma raiz do denominador. Ou seja, é qualquer s tal que o denominador seja zero e o numerador seja diferente de zero. Para encontrar, resolve-se a equação do denominador igual a zero.
  • Atenção a cancelamentos: se o numerador e o denominador tiverem um fator comum (s-a), esse a é uma raiz comum; na forma fatorada pode ocorrer cancelamento e então a não é um polo (seria um zero removível). Por isso, após fatorar devemos verificar fatores comuns.
Método prático para a prova:
  1. Fatorar o numerador.
  2. Fatorar o denominador.
  3. Listar raízes de cada fator.
  4. Verificar se há fatores comuns (cancelamentos).
  5. Declarar zeros e polos e suas multiplicidades.

Passo 3

Fatoração do numerador (passo a passo):
Escrevendo o numerador em evidência o fator 8,
8 s^{2}+32 s+24 = 8\,(s^{2}+4 s+3).
Agora fatorar o quadrático s^{2}+4 s+3. Procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam 4. Esses números são 1 e 3. Logo
s^{2}+4 s+3=(s+1)(s+3).
Portanto o numerador fatorado é
8 s^{2}+32 s+24 = 8\,(s+1)(s+3).

Passo 4

Fatoração do denominador (passo a passo):
O denominador tem fator comum s (note que cada termo tem s):
s^{3}+6 s^{2}+8 s = s\,(s^{2}+6 s+8).
Agora fatorar o quadrático s^{2}+6 s+8. Procuramos dois números que multiplicam para 8 e somam 6. Esses números são 2 e 4. Logo
s^{2}+6 s+8=(s+2)(s+4).
Portanto o denominador fatorado é
s^{3}+6 s^{2}+8 s = s\,(s+2)(s+4).

Passo 5

Identificação das raízes e verificação de cancelamentos:
  • Do numerador fatorado 8\,(s+1)(s+3) obtemos raízes em s=-1 e s=-3.
  • Do denominador fatorado s\,(s+2)(s+4) obtemos raízes em s=0, s=-2 e s=-4.
    Agora verificar fatores comuns entre numerador e denominador: os fatores do numerador são (s+1) e (s+3); os fatores do denominador são s, (s+2), (s+4). Não há fatores em comum, portanto não ocorre cancelamento de zeros/polos.
    Como todos os fatores aparecem uma única vez, todas as raízes têm multiplicidade 1 (são simples).

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova:
  • Zeros: são os valores que anulam o numerador sem anular o denominador; aqui são s=-1 e s=-3.
  • Polos: são os valores que anulam o denominador sem anular o numerador; aqui são s=0, s=-2 e s=-4.
    Dica rápida para a prova: sempre fatorar por completo e checar cancelamentos — se houver cancelamento, aquele valor não é polo (ou é um polo removível) e deve ser tratado com cuidado.

Resposta

Zeros: s=-1, s=-3
Polos: s=0, s=-2, s=-4

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