Encontre os polos e os zeros das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para encontrar os zeros e os polos dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
As perguntas são: (1) quais são os zeros (valores deque anulam o numerador, desde que não anulem também o denominador) e (2) quais são os polos (valores de que anulam o denominador, desde que não anulem também o numerador).
Passo 2
O que significa zero e polo e como vamos proceder (explicação didática):
- Zero: é uma raiz do numerador. Ou seja, é qualquer
tal que o numerador seja zero e o denominador seja diferente de zero. Para encontrar, resolve-se a equação do numerador igual a zero. - Polo: é uma raiz do denominador. Ou seja, é qualquer
tal que o denominador seja zero e o numerador seja diferente de zero. Para encontrar, resolve-se a equação do denominador igual a zero. - Atenção a cancelamentos: se o numerador e o denominador tiverem um fator comum
, esse é uma raiz comum; na forma fatorada pode ocorrer cancelamento e então não é um polo (seria um zero removível). Por isso, após fatorar devemos verificar fatores comuns.
Método prático para a prova:
- Fatorar o numerador.
- Fatorar o denominador.
- Listar raízes de cada fator.
- Verificar se há fatores comuns (cancelamentos).
- Declarar zeros e polos e suas multiplicidades.
Passo 3
Fatoração do numerador (passo a passo):
Escrevendo o numerador em evidência o fator ,
Escrevendo o numerador em evidência o fator
Agora fatorar o quadrático
. Procuramos dois números que multiplicam para
e somam
. Esses números são
e
. Logo
Portanto o numerador fatorado é
Passo 4
Fatoração do denominador (passo a passo):
O denominador tem fator comum (note que cada termo tem
):
O denominador tem fator comum
Agora fatorar o quadrático
. Procuramos dois números que multiplicam para
e somam
. Esses números são
e
. Logo
Portanto o denominador fatorado é
Passo 5
Identificação das raízes e verificação de cancelamentos:
- Do numerador fatorado
obtemos raízes em e . - Do denominador fatorado
obtemos raízes em , e .
Agora verificar fatores comuns entre numerador e denominador: os fatores do numerador sãoe ; os fatores do denominador são , , . Não há fatores em comum, portanto não ocorre cancelamento de zeros/polos.
Como todos os fatores aparecem uma única vez, todas as raízes têm multiplicidade(são simples).
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova:
- Zeros: são os valores que anulam o numerador sem anular o denominador; aqui são
e . - Polos: são os valores que anulam o denominador sem anular o numerador; aqui são
, e .
Dica rápida para a prova: sempre fatorar por completo e checar cancelamentos — se houver cancelamento, aquele valor não é polo (ou é um polo removível) e deve ser tratado com cuidado.
Resposta
Zeros:
,
Polos: ,
,
Polos: