Encontre os polos e os zeros das funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os zeros e os polos da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O que se pede: - Determinar os zeros (raízes do numerador) com suas multiplicidades.
- Determinar os polos (raízes do denominador) com suas multiplicidades (ordens).
Passo 2
Vamos achar os zeros: resolver a equação do numerador
Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
as raízes são
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculo as raízes:
Simplificando
, obtemos
Portanto os zeros são
e
. Cada um é raiz simples (multiplicidade 1), porque o numerador é um quadrado sem fatores repetidos.
Passo 3
Agora os polos: encontrar as raízes do denominador
Procuro raízes racionais possíveis segundo o Teorema das Raízes Racionais: divisores de
, isto é
. Testo
:
Logo
é raiz, isto é,
é fator do polinômio do denominador.
Passo 4
Faço a divisão polinomial do cúbico por
para obter o fator restante. Dividindo
por
(síntese rápida ou divisão):
- Coeficientes:
. - Usando divisão sintética com
obtém-se quociente com coeficientes e resto .
Portanto
Agora fatoro o quadrático:
Assim o denominador fatorado é
Passo 5
Interpretação das raízes do denominador como polos:
- De
vem o polo em com multiplicidade (polo simples). - De
vem o polo em com multiplicidade (polo duplo).
Também podemos escrever a forma fatorada completa da função:
Resposta
Zeros:
(simples)
Polos:
(simples),
(duplo)