Encontre os polos e os zeros das funções:
\frac{s^{2}-2 s+4}{s^{3}+5 s^{2}+8 s+4}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os zeros e os polos da função racional
\frac{s^{2}-2 s+4}{s^{3}+5 s^{2}+8 s+4}.
Informações dadas:
  • Numerador: s^{2}-2s+4.
  • Denominador: s^{3}+5s^{2}+8s+4.
    O que se pede:
  • Determinar os zeros (raízes do numerador) com suas multiplicidades.
  • Determinar os polos (raízes do denominador) com suas multiplicidades (ordens).

Passo 2

Vamos achar os zeros: resolver a equação do numerador
s^{2}-2s+4=0.
Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \;as^{2}+bs+c=0\; as raízes são
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=4. Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot4 = 4-16 = -12.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculo as raízes:
s=\frac{-(-2)\pm\sqrt{-12}}{2\cdot1}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}=\frac{2\pm i\sqrt{12}}{2}.
Simplificando \sqrt{12}=2\sqrt{3}, obtemos
s=1\pm i\sqrt{3}.
Portanto os zeros são \;s=1+i\sqrt{3}\; e \;s=1-i\sqrt{3}\;. Cada um é raiz simples (multiplicidade 1), porque o numerador é um quadrado sem fatores repetidos.

Passo 3

Agora os polos: encontrar as raízes do denominador
s^{3}+5s^{2}+8s+4=0.
Procuro raízes racionais possíveis segundo o Teorema das Raízes Racionais: divisores de 4, isto é \pm1,\pm2,\pm4. Testo s=-1:
(-1)^{3}+5(-1)^{2}+8(-1)+4 = -1+5-8+4 =0.
Logo s=-1 é raiz, isto é, (s+1) é fator do polinômio do denominador.

Passo 4

Faço a divisão polinomial do cúbico por (s+1) para obter o fator restante. Dividindo s^{3}+5s^{2}+8s+4 por s+1 (síntese rápida ou divisão):
  • Coeficientes: 1,\;5,\;8,\;4.
  • Usando divisão sintética com -1 obtém-se quociente com coeficientes 1,\;4,\;4 e resto 0.
Portanto
s^{3}+5s^{2}+8s+4=(s+1)(s^{2}+4s+4).
Agora fatoro o quadrático:
s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}.
Assim o denominador fatorado é
(s+1)(s+2)^{2}.

Passo 5

Interpretação das raízes do denominador como polos:
  • De (s+1) vem o polo em s=-1 com multiplicidade 1 (polo simples).
  • De (s+2)^{2} vem o polo em s=-2 com multiplicidade 2 (polo duplo).
Também podemos escrever a forma fatorada completa da função:
\frac{s^{2}-2s+4}{s^{3}+5s^{2}+8s+4} = \frac{(s-(1+i\sqrt{3}))(s-(1-i\sqrt{3}))}{(s+1)(s+2)^{2}}.

Resposta

Zeros: s=1\pm i\sqrt{3} (simples)
Polos: s=-1 (simples), s=-2 (duplo)