Encontre a posição do centro e os comprimentos dos eixos da elipse de equação
5 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+4 \sqrt{5} x-16 \sqrt{5} y+4=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a posição do centro da elipse e os comprimentos dos eixos da elipse dada pela equação
5 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+4 \sqrt{5} x-16 \sqrt{5} y+4=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Coeficiente de }x^{2}: \; A=5,\\\ &\text{Coeficiente de }xy: \; B=-4,\\\ &\text{Coeficiente de }y^{2}: \; C=8,\\\ &\text{Coeficiente de }x: \; D=4\sqrt{5},\\\ &\text{Coeficiente de }y: \; E=-16\sqrt{5},\\\ &\text{Termo constante: } F=4. \end{aligned}
Pronto — já sabemos o que nos dão e o que precisamos encontrar. Agora vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Como achar o centro? Para uma cônica dada por
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0
o centro (quando existe) é o ponto (x_0,y_0)\) que anula os termos lineares da forma quadrática deslocada. Uma maneira prática é resolver o sistema obtido das derivadas parciais (gradiente da expressão à esquerda) igual a zero: \[\begin{cases} \displaystyle 2A x + B y + D = 0,\\[6pt] \displaystyle B x + 2C y + E = 0. \end{cases}
Substituindo nossos coeficientes:
\begin{cases} \displaystyle 2\cdot 5\,x + (-4)\,y + 4\sqrt{5} = 0,\\[6pt] \displaystyle (-4)\,x + 2\cdot 8\,y -16\sqrt{5} = 0. \end{cases}
Simplificando cada equação:
\begin{cases} 10x -4y +4\sqrt{5}=0,\\[4pt] -4x +16y -16\sqrt{5}=0. \end{cases}
Dividindo a primeira por 2\] e a segunda por \[4 para facilitar:
\begin{cases} 5x -2y +2\sqrt{5}=0,\\[4pt] - x +4y -4\sqrt{5}=0. \end{cases}
Da segunda obtemos x = 4y -4\sqrt{5}\]. Substituindo na primeira: \[5(4y-4\sqrt{5}) -2y +2\sqrt{5}=0.\] Calculando: \[20y -20\sqrt{5} -2y +2\sqrt{5}=0 \Longrightarrow 18y -18\sqrt{5}=0 \Longrightarrow y=\sqrt{5}.\] Então \(x = 4y -4\sqrt{5} = 4\sqrt{5} -4\sqrt{5} = 0. Logo o centro é
(x_0,y_0) = \left(0,\sqrt{5}\right).]

Passo 3

Agora vamos deslocar a origem para o centro para simplificar a equação. Definimos as coordenadas centradas:
X = x - 0 = x,\qquad Y = y - \sqrt{5}.
Substituir x=X e y=Y+\sqrt{5} na equação e agrupar os termos quadráticos resulta numa forma
[X\; Y]\;M\;\begin{bmatrix}X\\[4pt]Y\end{bmatrix} + F' = 0,
onde M é a matriz simétrica dos coeficientes quadráticos:
M = \begin{pmatrix} A & B/2 \\[4pt] B/2 & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & -2 \\[4pt] -2 & 8\end{pmatrix}.
O termo constante F' após o deslocamento é simplesmente o valor da expressão original avaliada no centro (0,\sqrt{5}). Calculamos esse valor:
\begin{aligned} F' &= 5\cdot 0^{2} -4\cdot 0\cdot \sqrt{5} + 8(\sqrt{5})^{2} + 4\sqrt{5}\cdot 0 -16\sqrt{5}\cdot \sqrt{5} +4\\[4pt] &= 8\cdot 5 -16\cdot 5 +4 = 40 -80 +4 = -36. \end{aligned}
Portanto, na coordenada centrada a equação fica
[X\; Y]\;M\;\begin{bmatrix}X\\[4pt]Y\end{bmatrix} -36 = 0,
ou seja
[X\; Y]\;M\;\begin{bmatrix}X\\[4pt]Y\end{bmatrix} = 36.]

Passo 4

Para eliminar o termo misto e ver os eixos da elipse, diagonalizamos M. Os autovalores (eigenvalues) de M são soluções de
\det(M-\lambda I)=0.
Calculamos o polinômio característico:
\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & -2\\[4pt]-2 & 8-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(8-\lambda)-(-2)^2=\lambda^{2}-13\lambda+36.
Resolvendo \lambda^{2}-13\lambda+36=0 obtemos
\lambda = \frac{13\pm\sqrt{13^{2}-4\cdot 36}}{2}=\frac{13\pm 5}{2},
portanto os autovalores são
\lambda_{1}=9,\qquad \lambda_{2}=4.
Esses autovalores são positivos (como deve ser para uma elipse). Se mudarmos para as direções próprias (variáveis u,v que diagonalizam M), a equação toma a forma
\lambda_{1} u^{2} + \lambda_{2} v^{2} = 36.]

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 36 obtemos a forma canônica:
\frac{u^{2}}{36/\lambda_{1}} + \frac{v^{2}}{36/\lambda_{2}} = 1.
Logo os quadrados dos semi-eixos são
a^{2} = \frac{36}{\lambda_{\text{maior}}},\qquad b^{2} = \frac{36}{\lambda_{\text{menor}}},
onde \lambda_{\text{maior}} e \lambda_{\text{menor}} são os autovalores correspondentes às direções u e v. Tomando \lambda_{1}=9 e \lambda_{2}=4 e escolhendo a convenção de que a é o semi-eixo associado ao denominador menor (ou seja, o maior semi-eixo é obtido com o menor divisor), encontramos diretamente pela forma
9u^{2}+4v^{2}=36 \Longrightarrow \frac{u^{2}}{4}+\frac{v^{2}}{9}=1.
Dessa forma os semi-eixos são
a=3,\qquad b=2.
Os comprimentos dos eixos (comprimento total de cada um) são 2a e 2b, isto é
2a=6,\qquad 2b=4.

Resposta

Centro: \left(0,\sqrt{5}\right)
Semi-eixos: a=3,\; b=2
Comprimentos dos eixos: 2a=6,\; 2b=4

Exercícios relacionados