Encontre a posição do centro e os comprimentos dos eixos da elipse de equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a posição do centro da elipse e os comprimentos dos eixos da elipse dada pela equação
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pronto — já sabemos o que nos dão e o que precisamos encontrar. Agora vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Como achar o centro? Para uma cônica dada por
o centro (quando existe) é o ponto
Substituindo nossos coeficientes:
Simplificando cada equação:
Dividindo a primeira por
para facilitar:
Da segunda obtemos
. Logo o centro é
Passo 3
Agora vamos deslocar a origem para o centro para simplificar a equação. Definimos as coordenadas centradas:
Substituir
e
na equação e agrupar os termos quadráticos resulta numa forma
onde
é a matriz simétrica dos coeficientes quadráticos:
O termo constante
após o deslocamento é simplesmente o valor da expressão original avaliada no centro
. Calculamos esse valor:
Portanto, na coordenada centrada a equação fica
ou seja
Passo 4
Para eliminar o termo misto e ver os eixos da elipse, diagonalizamos
. Os autovalores (eigenvalues) de
são soluções de
Calculamos o polinômio característico:
Resolvendo
obtemos
portanto os autovalores são
Esses autovalores são positivos (como deve ser para uma elipse). Se mudarmos para as direções próprias (variáveis
que diagonalizam
), a equação toma a forma
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma canônica:
Logo os quadrados dos semi-eixos são
onde
e
são os autovalores correspondentes às direções
e
. Tomando
e
e escolhendo a convenção de que
é o semi-eixo associado ao denominador menor (ou seja, o maior semi-eixo é obtido com o menor divisor), encontramos diretamente pela forma
Dessa forma os semi-eixos são
Os comprimentos dos eixos (comprimento total de cada um) são
e
, isto é
Resposta
Centro:
Semi-eixos:
Comprimentos dos eixos:
Semi-eixos:
Comprimentos dos eixos: