Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
G(S)=\frac{5}{11 s+5}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{5}{11s+5}
e pede para encontrar a resposta ao degrau (entrada degrau unitário) no domínio do tempo e desenhar o gráfico.
Informações claras extraídas do enunciado:
  • A entrada é o degrau unitário, cuja transformada de Laplace é \dfrac{1}{s}.
  • Quer-se y(t) para t\ge 0 (resposta ao degrau) e um esboço do gráfico.

Passo 2

Estratégia escolhida (por que esse método): para encontrar a resposta ao degrau de um sistema descrito por G(s) multiplicamos G(s) pela transformada do degrau e fazemos a transformada inversa de Laplace. Alternativamente pode-se reconhecer que G(s) é um sistema de 1ª ordem e usar a forma canônica; vou mostrar os dois caminhos brevemente (isso ajuda a entender e é útil em prova).
Lembrete de fórmulas úteis:
  • Degrau unitário: R(s)=\dfrac{1}{s}.
  • Saída em s: Y(s)=G(s)\,R(s).
  • Para uma função racional, usar frações parciais e tabelas de Laplace.
  • Forma canônica de um sistema de 1ª ordem com ganho DC K e constante de tempo \tau:
G_{\text{1ª}}(s)=\frac{K}{\tau s+1} \qquad\Rightarrow\qquad y(t)=K\left(1-e^{-t/\tau}\right) \text{ para entrada degrau unitário.}ªá

Passo 3

Calcule Y(s) multiplicando pela entrada degrau:
Y(s)=G(s)\cdot \frac{1}{s}=\frac{5}{s(11s+5)}.
Vamos decompor em frações parciais. Procuro constantes A e B tais que
\frac{5}{s(11s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{11s+5}.
Multiplicando ambos os lados por s(11s+5) obtemos a identidade
5 = A(11s+5)+Bs.
Igualando coeficientes em s e termos constantes:
  • coeficiente de s: 0 = 11A + B,
  • termo constante: 5 = 5A.
Da equação do termo constante vem A=1. Substituindo em 0=11A+B obtemos B=-11.
Portanto a decomposição é
\frac{5}{s(11s+5)}=\frac{1}{s}+\frac{-11}{11s+5}.

Passo 4

Fazer a transformada inversa de Laplace de cada termo. Primeiro observe que
\frac{-11}{11s+5}=\frac{-11}{11}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{5}{11}} = -1\cdot\frac{1}{s+\tfrac{5}{11}}.
A transformada inversa padrão é \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 (degrau) e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-at}. Assim,
y(t)=1 - e^{-\tfrac{5}{11}t},\qquad t\ge 0.

Passo 5

Interpretação e propriedades úteis (para a prova):
  • Ganho DC (valor em regime permanente): \lim_{t\to\infty}y(t)=1. Pode confirmar usando \lim_{s\to0}sY(s) também.
  • Valor inicial: y(0^+)=1-1=0.
  • Constante de tempo \tau: escrevendo G(s) na forma canônica: dividir numerador e denominador por 5,
G(s)=\frac{5}{11s+5}=\frac{1}{\tfrac{11}{5}s+1} \Rightarrow \tau=\frac{11}{5}=2,2\\ \text{s}.
A resposta de 1ª ordem típica é 1-e^{-t/\tau}; com \tau=2,2 temos o mesmo resultado porque \tfrac{1}{\tau}=\tfrac{5}{11}.
  • Ponto característico: em t=\tau,
y(\tau)=1-e^{-1}\approx 1-0,3679\approx 0,6321.
Ou seja, y(\tau)\approx 0,632 (ou 63,2\% do valor final).
  • Aproximação em t=5\tau: y(5\tau)=1-e^{-5}\approx 0,9933 (praticamente em regime).

Passo 6

Instruções para desenhar o gráfico (o que desenhar na prova):
  • Eixo horizontal: t (s). Eixo vertical: y(t).
  • Traçar curva exponencial que começa em y(0)=0 e cresce assintoticamente para y=1.
  • Marcar a assíntota horizontal y=1.
  • Marcar \tau=2,2\\ \text{s} no eixo t e o ponto y(\tau)\approx 0,632 na curva.
  • Opcional: marcar t=5\tau=11\\ \text{s} com y(5\tau)\approx 0,993.

Resposta

y(t)=1-e^{-\tfrac{5}{11}t},\\ t\ge 0
Gráfico: exponencial crescente de y(0)=0 a y(\infty)=1 com constante de tempo \tau=\tfrac{11}{5}=2,2\\ \text{s} (em t=\tau tem y(\tau)\approx 0,632).

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