Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede para encontrar a resposta ao degrau (entrada degrau unitário) no domínio do tempo e desenhar o gráfico.
Informações claras extraídas do enunciado:
Informações claras extraídas do enunciado:
- A entrada é o degrau unitário, cuja transformada de Laplace é
. - Quer-se
para (resposta ao degrau) e um esboço do gráfico.
Passo 2
Estratégia escolhida (por que esse método): para encontrar a resposta ao degrau de um sistema descrito por
multiplicamos
pela transformada do degrau e fazemos a transformada inversa de Laplace. Alternativamente pode-se reconhecer que
é um sistema de 1ª ordem e usar a forma canônica; vou mostrar os dois caminhos brevemente (isso ajuda a entender e é útil em prova).
Lembrete de fórmulas úteis:
- Degrau unitário:
. - Saída em
: . - Para uma função racional, usar frações parciais e tabelas de Laplace.
- Forma canônica de um sistema de 1ª ordem com ganho DC
e constante de tempo :
Passo 3
Calcule
multiplicando pela entrada degrau:
Vamos decompor em frações parciais. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Igualando coeficientes em
e termos constantes:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Da equação do termo constante vem
. Substituindo em
obtemos
.
Portanto a decomposição é
Passo 4
Fazer a transformada inversa de Laplace de cada termo. Primeiro observe que
A transformada inversa padrão é
(degrau) e
. Assim,
Passo 5
Interpretação e propriedades úteis (para a prova):
- Ganho DC (valor em regime permanente):
. Pode confirmar usando também. - Valor inicial:
. - Constante de tempo
: escrevendo na forma canônica: dividir numerador e denominador por ,
A resposta de 1ª ordem típica é
; com
temos o mesmo resultado porque
.
- Ponto característico: em
,
Ou seja,
(ou
do valor final).
- Aproximação em
: (praticamente em regime).
Passo 6
Instruções para desenhar o gráfico (o que desenhar na prova):
- Eixo horizontal:
(s). Eixo vertical: . - Traçar curva exponencial que começa em
e cresce assintoticamente para . - Marcar a assíntota horizontal
. - Marcar
no eixo e o ponto na curva. - Opcional: marcar
com .
Resposta
Gráfico: exponencial crescente de