Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos. G(S)=\frac{9}{s^{2}+0,6 s+9}
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{9}{s^{2}+0,6s+9}
e pede a resposta ao degrau no domínio do tempo e o desenho do gráfico. Informações relevantes que temos do enunciado:
A entrada será um degrau unitário u(t), cuja transformada de Laplace é \dfrac{1}{s}.
A resposta ao degrau y(t) tem transformada Y(s)=G(s)\cdot\dfrac{1}{s}.
A função G(s) é um sistema de segunda ordem com coeficientes explicitados no denominador.
O que preciso entregar:
A expressão de y(t) (tempo contínuo) para t\ge 0.
Indicações numéricas e características para desenhar o gráfico (valores iniciais, pico, período amortecido, envoltória, comportamento final).
Passo 2
Escolha do método e preparação: vou calcular a transformada de Laplace da saída multiplicando G(s) pelo degrau e depois inverter via decomposição em frações parciais e fórmulas padrão de transformada inversa. Primeiro escrevo a transformada da saída:
Y(s)=\frac{9}{s\,(s^{2}+0,6s+9)}.
Explico rápido a ideia de frações parciais: qualquer função racional como essa pode ser escrita como soma de termos simples cuja transformada inversa é conhecida. Vou procurar constantes A,B,C tais que
Interpretação física e características numéricas para desenhar o gráfico (vou explicar cada item para você entender o porquê):
Valor final (teorema do valor final): \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{9}{s^{2}+0,6s+9}=1. Então a saída tende para 1.
Valor inicial: y(0)=1 - [1 + 0]=0. Faz sentido porque o sistema começa em repouso e ao aplicar o degrau a saída inicia em zero.
Período das oscilações amortecidas:T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{2,985}\approx 2,105\\ \text{s}.
Tempo até o primeiro pico (aproximação para segundo-ordem subamortecido):t_p\approx\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{\pi}{2,985}\approx 1,053\\ \text{s}.
Overshoot percentual (fórmula padrão):PO = e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times 100\%\approx e^{-\frac{0,1\pi}{\sqrt{0,99}}}\times100\%\approx 72,97\%.Então a primeira máxima tem valor aproximado y_{\max}\approx 1+0,7297\approx 1,7297.
Envoltória: as oscilações estão dentro das curvas \pm M e^{-0,3t} com M\approx 1,005 (coeficiente resultante da combinação cos + k sin), isto mostra decaimento exponencial com constante de tempo \tau=1/(0,3)\approx 3{,}33\\ \text{s}.
Passo 7
Como desenhar o gráfico (passo a passo, pra você rabiscar na prova):
Trace eixos: t horizontal e y(t) vertical. Marque a assíntota horizontal em y=1.
Em t=0 comece em y(0)=0.
A função sobe e ultrapassa 1 (overshoot de ~73%), atinge primeiro pico em t\approx 1,053\\ \text{s} com y\approx 1,73.
Depois cruza a linha y=1 para baixo, oscila com período T_d\approx 2,105\\ \text{s} e amplitude decrescente segundo envoltória proporcional a e^{-0,3t}.
As oscilações vão ficando cada vez menores e o sinal converge monotonicamente para 1 quando t\to\infty.
Se for desenhar à mão, marque alguns pontos: t=0 (0), t=t_p (≈1,053 → ~1,73), t=t_p+T_d/2 (vai ao mínimo), e em t\approx 3\tau (≈10 s) já estará praticamente em 1.