Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede a resposta ao degrau no domínio do tempo (entrada é o degrau unitário
) e que se desenhem os gráficos.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A entrada é o degrau unitário, cuja transformada de Laplace é
. - Queremos
— a saída no tempo quando a entrada é — para .
Passo 2
Primeiro passo prático: trabalhar no domínio de Laplace. Se a entrada tem transformada
, então a saída em Laplace é
Agora vamos inverter
para o domínio do tempo. Um jeito simples é usar frações parciais. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Para achar
e
basta avaliar em valores convenientes:
- Colocando
: . - Colocando
:
Logo
Passo 3
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas. Lembrando que
(degrau) e que para
temos
. O segundo termo precisa ser escrito na forma
:
Portanto
Como
, a saída no tempo é
Passo 4
Vamos entender didaticamente o resultado, passo a passo, para saber como desenhar o gráfico na prova:
- Ganho em regime permanente (valor final) é
. Também pode-se ver pelo ganho DC: . - Valor inicial:
. Ou seja, começa em zero. - Constante de tempo
: escrevendo na forma padrão , note que logo e (s). - Taxa de decaimento/exponencial:
. O termo exponencial é . - Valores úteis para marcar no esboço:
- Em
: . - Em
: .
- Em
- Derivada inicial:
então . Isso dá a inclinação inicial do gráfico.
Passo 5
Como desenhar o gráfico (instruções para traçar à mão rápido na prova):
- Eixos: horizontal tempo
(s), vertical saída . - Marcar
e assíntota horizontal em . - Traçar uma curva exponencial crescente partindo de
, com inclinação inicial , aproximando-se assintoticamente de . - Marcar
no eixo e em cima desse ponto marcar para guiar a forma da curva. - Opcional: marcar
com para mostrar que já está praticamente em regime permanente.
Passo 6
Dica prática para a prova (curtinha e útil): quando
é do tipo
e a entrada é degrau unitário, reconheça imediatamente
e
. A resposta ao degrau fica
. Aqui isso economiza tempo e evita fazer frações parciais se estiver com pressa.