Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
G(S)=\frac{5}{2 s+5}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{5}{2s+5},
e pede a resposta ao degrau no domínio do tempo (entrada é o degrau unitário u(t)) e que se desenhem os gráficos.
Informações relevantes:
  • A entrada é o degrau unitário, cuja transformada de Laplace é \dfrac{1}{s}.
  • Queremos c(t) — a saída no tempo quando a entrada é u(t) — para t\ge 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: trabalhar no domínio de Laplace. Se a entrada tem transformada R(s)=\dfrac{1}{s}, então a saída em Laplace é
C(s)=G(s)R(s)=\frac{5}{2s+5}\cdot\frac{1}{s}=\frac{5}{s(2s+5)}.
Agora vamos inverter C(s) para o domínio do tempo. Um jeito simples é usar frações parciais. Procuro constantes A e B tais que
\frac{5}{s(2s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{2s+5}.
Multiplicando ambos os lados por s(2s+5) obtemos a identidade em s:
5=A(2s+5)+Bs.
Para achar A e B basta avaliar em valores convenientes:
  • Colocando s=0: 5=A\cdot 5\Rightarrow A=1.
  • Colocando s=-\dfrac{5}{2}: 5=B\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\Rightarrow B=-2.
Logo
C(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{2s+5}.

Passo 3

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas. Lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 (degrau) e que para \tfrac{1}{s+a} temos \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}. O segundo termo precisa ser escrito na forma \dfrac{1}{s+a}:
\frac{2}{2s+5}=\frac{2}{2\bigl(s+\tfrac{5}{2}\bigr)}=\frac{1}{s+\tfrac{5}{2}}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{2s+5}\right\}=e^{-\tfrac{5}{2}t}.
Como C(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{2}{2s+5}, a saída no tempo é
c(t)=1-e^{-\tfrac{5}{2}t},\qquad t\ge 0.

Passo 4

Vamos entender didaticamente o resultado, passo a passo, para saber como desenhar o gráfico na prova:
  • Ganho em regime permanente (valor final) é \displaystyle \lim_{t\to\infty}c(t)=1. Também pode-se ver pelo ganho DC: G(0)=\dfrac{5}{5}=1.
  • Valor inicial: c(0^+)=1-e^{0}=0. Ou seja, começa em zero.
  • Constante de tempo \tau: escrevendo G(s) na forma padrão \dfrac{K}{\tau s+1}, note que G(s)=\frac{5}{2s+5}=\frac{1}{\tfrac{2}{5}s+1},logo K=1 e \tau=\dfrac{2}{5}=0,4 (s).
  • Taxa de decaimento/exponencial: 1/\tau=\dfrac{5}{2}=2,5. O termo exponencial é e^{-(5/2)t}.
  • Valores úteis para marcar no esboço:
    • Em t=\tau=0,4: c(\tau)=1-e^{-1}\approx 0,632.
    • Em t=4\tau=1,6: c(4\tau)=1-e^{-4}\approx 0,9817.
  • Derivada inicial: c'(t)=\dfrac{5}{2}e^{-\tfrac{5}{2}t} então c'(0)=\dfrac{5}{2}=2,5. Isso dá a inclinação inicial do gráfico.

Passo 5

Como desenhar o gráfico (instruções para traçar à mão rápido na prova):
  • Eixos: horizontal tempo t (s), vertical saída c(t).
  • Marcar c(0)=0 e assíntota horizontal em c=1.
  • Traçar uma curva exponencial crescente partindo de 0, com inclinação inicial 2,5, aproximando-se assintoticamente de 1.
  • Marcar \tau=0,4 no eixo t e em cima desse ponto marcar c(\tau)\approx 0,632 para guiar a forma da curva.
  • Opcional: marcar t=1,6 com c\approx 0,982 para mostrar que já está praticamente em regime permanente.

Passo 6

Dica prática para a prova (curtinha e útil): quando G(s) é do tipo \dfrac{\text{constante}}{a s + b} e a entrada é degrau unitário, reconheça imediatamente K=\dfrac{\text{constante}}{b} e \tau=\dfrac{a}{b}. A resposta ao degrau fica K\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr). Aqui isso economiza tempo e evita fazer frações parciais se estiver com pressa.

Resposta

c(t)=1-e^{-\tfrac{5}{2}t},\quad t\ge 0

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