Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede a resposta ao degrau no domínio do tempo e que se desenhem os gráficos. Vou assumir a entrada padrão “degrau unitário” (ou seja,
para
), pois o enunciado não especificou outra amplitude. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Transferência:
- Entrada (assumida): degrau unitário com transformada
- Objetivo: encontrar
, a saída no domínio do tempo, e descrever/ desenhar o gráfico da resposta ao degrau.
Passo 2
Simplificar algebricamente a função de transferência para facilitar o trabalho. Fatore o denominador:
Cancele o
no numerador e no denominador:
Comentário didático curto: essa forma mostra que o sistema é de primeira ordem com um pólo em
. O tempo de constante (time constant) será
.
Passo 3
Expressar a saída no domínio de Laplace multiplicando
pela transformada do degrau
:
Esse é o problema em domínio de Laplace; agora vamos inverter para o tempo.
Passo 4
Usar frações parciais para decompor
. Procura-se constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolha valores de
para achar
e
facilmente:
- Para
: - Para
:
Portanto
Passo 5
Aplicar tabelas/fórmulas da transformada inversa de Laplace:
-
corresponde ao degrau unitário (ou ). -
corresponde a .
Logo, a saída no domínio do tempo é
(Se quiser escrever a forma causal completa:
.)
Passo 6
Verificações úteis para a prova (mostram que está correto):
- Valor inicial usando Teorema do Valor Inicial:
- Valor final usando Teorema do Valor Final:
Esses resultados conferem com
.
Passo 7
Características importantes da resposta (coisas que o professor pode cobrar):
- Constante de tempo:
. Em , a resposta atinge (63,2% do valor final). - Em
, (aprox. 95% do valor final). - Derivada inicial (inclinação no tempo
): . Isso ajuda a traçar a tangente inicial. - Tempo de subida aproximado (10%–90%): resolver
e : então
Passo 8
Como desenhar o gráfico (passo a passo, pra prova — sem calculadora dá pra fazer bem):
- Desenhe eixos com
no horizontal e no vertical. Marque a assíntota horizontal em . - Marque pontos importantes:
-
: . -
: . -
: .
-
- Desenhe a tangente inicial em
com inclinação (reta perto de zero). - Trace uma curva exponencial crescente que parte em
, segue quase linear no começo (pela tangente), chega em e se aproxima assintoticamente de quando . - Opcional: marque
e se quiser mostrar o tempo de subida.
Tabela rápida de pontos para ajudar no desenho:
Passo 9
Resumo final e incentivo: a resposta ao degrau ficou simples porque a função de transferência se reduz a
. A forma
é a típica resposta de um sistema de primeira ordem com ganho final
e tempo de constante
. Dá para desenhar rapidinho no cartão da prova marcando
,
e a assíntota
. Força aí — essa é daquelas questões que rendem muito ponto se fizeres os passos limpinhos!