Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
G(S)=\frac{5}{5 s+5}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{5}{5s+5}
e pede a resposta ao degrau no domínio do tempo e que se desenhem os gráficos. Vou assumir a entrada padrão “degrau unitário” (ou seja, u(t)=1 para t\ge 0), pois o enunciado não especificou outra amplitude. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Transferência: \;G(s)=\dfrac{5}{5s+5}.
  • Entrada (assumida): degrau unitário com transformada \;U(s)=\dfrac{1}{s}.
  • Objetivo: encontrar y(t), a saída no domínio do tempo, e descrever/ desenhar o gráfico da resposta ao degrau.

Passo 2

Simplificar algebricamente a função de transferência para facilitar o trabalho. Fatore o denominador:
G(s)=\frac{5}{5s+5}=\frac{5}{5(s+1)}.
Cancele o 5 no numerador e no denominador:
G(s)=\frac{1}{s+1}.
Comentário didático curto: essa forma mostra que o sistema é de primeira ordem com um pólo em s=-1. O tempo de constante (time constant) será \tau=\dfrac{1}{1}=1.

Passo 3

Expressar a saída no domínio de Laplace multiplicando G(s) pela transformada do degrau U(s)=\dfrac{1}{s}:
Y(s)=G(s)\,U(s)=\frac{1}{s+1}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s(s+1)}.
Esse é o problema em domínio de Laplace; agora vamos inverter para o tempo.

Passo 4

Usar frações parciais para decompor \dfrac{1}{s(s+1)}. Procura-se constantes A e B tais que
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+1) obtemos
1 = A(s+1)+B s.
Escolha valores de s para achar A e B facilmente:
  • Para s=0: 1 = A(0+1)+B\cdot0\Rightarrow A=1.
  • Para s=-1: 1 = A\cdot0 + B(-1)\Rightarrow B=-1.
Portanto
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}.

Passo 5

Aplicar tabelas/fórmulas da transformada inversa de Laplace:
  • \dfrac{1}{s} corresponde ao degrau unitário 1 (ou u(t)).
  • \dfrac{1}{s+1} corresponde a e^{-t}\,u(t).
Logo, a saída no domínio do tempo é
y(t)=1-e^{-t}\quad\text{para }t\ge 0.
(Se quiser escrever a forma causal completa: \;y(t)=(1-e^{-t})\,u(t).)

Passo 6

Verificações úteis para a prova (mostram que está correto):
  • Valor inicial usando Teorema do Valor Inicial:
y(0^+)=\lim_{s\to\infty} sY(s)=\lim_{s\to\infty}\frac{s}{s(s+1)}=\lim_{s\to\infty}\frac{1}{s+1}=0.
  • Valor final usando Teorema do Valor Final:
y(\infty)=\lim_{s\to 0} sY(s)=\lim_{s\to 0}\frac{s}{s(s+1)}=\frac{1}{1}=1.
Esses resultados conferem com y(t)=1-e^{-t}.

Passo 7

Características importantes da resposta (coisas que o professor pode cobrar):
  • Constante de tempo: \tau=1. Em t=\tau=1, a resposta atinge 1-e^{-1}\approx 0{,}632 (63,2% do valor final).
  • Em t=3\tau=3, y(3)=1-e^{-3}\approx 0{,}9502 (aprox. 95% do valor final).
  • Derivada inicial (inclinação no tempo 0^+): y'(t)=e^{-t}\Rightarrow y'(0)=1. Isso ajuda a traçar a tangente inicial.
  • Tempo de subida aproximado (10%–90%): resolver 1-e^{-t}=0{,}1 e 1-e^{-t}=0{,}9: t_{10}=-\ln(0{,}9)\approx 0{,}1054,\qquad t_{90}=-\ln(0{,}1)\approx 2{,}3026,então t_{r(10\%-90\%)}\approx 2{,}1972.

Passo 8

Como desenhar o gráfico (passo a passo, pra prova — sem calculadora dá pra fazer bem):
  1. Desenhe eixos com t no horizontal e y no vertical. Marque a assíntota horizontal em y=1.
  2. Marque pontos importantes:
    • t=0: y(0)=0.
    • t=1: y(1)=1-e^{-1}\approx 0{,}632.
    • t=3: y(3)\approx 0{,}95.
  3. Desenhe a tangente inicial em t=0 com inclinação y'(0)=1 (reta y\approx t perto de zero).
  4. Trace uma curva exponencial crescente que parte em (0,0), segue quase linear no começo (pela tangente), chega em (1,0{,}632) e se aproxima assintoticamente de y=1 quando t\to\infty.
  5. Opcional: marque t_{10} e t_{90} se quiser mostrar o tempo de subida.
Tabela rápida de pontos para ajudar no desenho:
\begin{array}{c|c} t & y(t)=1-e^{-t}\\hline 0 & 0\\\\ 0{,}5 & 1-e^{-0{,}5}\approx 0{,}3935\\\\ 1 & 1-e^{-1}\approx 0{,}6321\\\\ 2 & 1-e^{-2}\approx 0{,}8647\\\\ 3 & 1-e^{-3}\approx 0{,}9502 \end{array}

Passo 9

Resumo final e incentivo: a resposta ao degrau ficou simples porque a função de transferência se reduz a \dfrac{1}{s+1}. A forma 1-e^{-t} é a típica resposta de um sistema de primeira ordem com ganho final 1 e tempo de constante \tau=1. Dá para desenhar rapidinho no cartão da prova marcando y(0)=0, y(1)\approx0{,}63 e a assíntota y=1. Força aí — essa é daquelas questões que rendem muito ponto se fizeres os passos limpinhos!

Resposta

(1)\\ \;y(t)=1-e^{-t}\quad\text{para }t\ge 0
(2)\\ \;\text{Gráfico: curva exponencial crescente partindo em }(0,0),\\ \text{assin. }y=1,\\ \tau=1.á

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