Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a resposta ao degrau (entrada degrau unitário) no domínio do tempo para a função de transferência dada e desenhar o gráfico. A função fornecida é
Informações relevantes que temos:
- Sistema linear e invariante no tempo descrito por
. - Entrada é o degrau unitário
, cujo transformada de Laplace é . - Queremos a saída
no domínio do tempo (a transformada inversa de ) e um esboço do gráfico de .
Passo 2
Estratégia (o que faremos): para obter a resposta ao degrau calculamos a função de Laplace da saída
e em seguida fazemos a transformada inversa de Laplace de
para obter
. Vou lembrar duas coisas básicas que usarei:
- A transformada de Laplace do degrau unitário é
. - As inversas que usarei:
e para .
Passo 3
Primeiro simplifico
para forma padrão exponencial. Factorizo o denominador:
Então
Isso mostra que a constante exponencial (polo) é
. É útil também perceber que o ganho DC (valor em
) é
ou seja, para um degrau unitário a saída em regime permanente será 1.
Passo 4
Agora calculo
:
Para inverter isso faço uma decomposição em frações parciais. Uso a identidade útil
valendo para
. Aqui
. Então
Multiplicando pelo fator
que estava em
,
Esse passo usou a técnica de frações parciais para escrever
como soma de termos cuja inversa é conhecida.
Passo 5
Agora aplico a transformada inversa de Laplace termo a termo:
Portanto a resposta ao degrau no domínio do tempo é, para
,
Passo 6
Interpretação física e parâmetros importantes (para você interpretar o gráfico na prova):
- Constante de tempo
- Valor inicial:
. - Valor em regime permanente:
(confirmado também por e pelo teorema do valor final). - Valores úteis para desenhar o gráfico:
- Em
temos . - Em
temos .
Esses pontos ajudam a traçar a curva exponencial de subida.
- Em
Passo 7
Esboço do gráfico (descrição e um pequeno desenho ASCII para orientar o desenho à mão na prova).
- Eixo vertical: saída
variando de a . - Eixo horizontal: tempo
com marcações em , e ( ). - Curva: começa em
, sobe rapidamente e se aproxima assintoticamente de .
Exemplo de esboço (aqui os números e rótulos estão indicados; na sua folha desenhe uma curva exponencial suave que passe por esses pontos):
(Proceda na prova desenhando um eixo vertical de
a
, um eixo tempo com
marcado, e a curva
passando por
,
,
e tendendo a 1.)