Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
G(S)=\frac{5}{8 s+5}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a resposta ao degrau (entrada degrau unitário) no domínio do tempo para a função de transferência dada e desenhar o gráfico. A função fornecida é
G(s)=\frac{5}{8s+5}.
Informações relevantes que temos:
  • Sistema linear e invariante no tempo descrito por G(s).
  • Entrada é o degrau unitário u(t), cujo transformada de Laplace é \dfrac{1}{s}.
  • Queremos a saída y(t) no domínio do tempo (a transformada inversa de Y(s)=G(s)\cdot \dfrac{1}{s}) e um esboço do gráfico de y(t).

Passo 2

Estratégia (o que faremos): para obter a resposta ao degrau calculamos a função de Laplace da saída
Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s},
e em seguida fazemos a transformada inversa de Laplace de Y(s) para obter y(t). Vou lembrar duas coisas básicas que usarei:
  • A transformada de Laplace do degrau unitário é \dfrac{1}{s}.
  • As inversas que usarei: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at} para t\ge0.

Passo 3

Primeiro simplifico G(s) para forma padrão exponencial. Factorizo o denominador:
8s+5 = 8\left(s+\frac{5}{8}\right).
Então
G(s)=\frac{5}{8\left(s+\tfrac{5}{8}\right)}=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{5}{8}}.
Isso mostra que a constante exponencial (polo) é a=\dfrac{5}{8}. É útil também perceber que o ganho DC (valor em s=0) é
G(0)=\frac{5}{8\cdot 0+5}=1,
ou seja, para um degrau unitário a saída em regime permanente será 1.

Passo 4

Agora calculo Y(s):
Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s}=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{s\left(s+\tfrac{5}{8}\right)}.
Para inverter isso faço uma decomposição em frações parciais. Uso a identidade útil
\frac{1}{s(s+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}\right),
valendo para a\neq0. Aqui a=\tfrac{5}{8}. Então
\frac{1}{s\left(s+\tfrac{5}{8}\right)}=\frac{1}{\tfrac{5}{8}}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\tfrac{5}{8}}\right)=\frac{8}{5}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\tfrac{5}{8}}\right).
Multiplicando pelo fator \dfrac{5}{8} que estava em G(s),
Y(s)=\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\tfrac{5}{8}}\right)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\tfrac{5}{8}}.
Esse passo usou a técnica de frações parciais para escrever Y(s) como soma de termos cuja inversa é conhecida.

Passo 5

Agora aplico a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+\tfrac{5}{8}}\right\}=e^{-\tfrac{5}{8}t}.
Portanto a resposta ao degrau no domínio do tempo é, para t\ge0,
y(t)=1-e^{-\tfrac{5}{8}t}.

Passo 6

Interpretação física e parâmetros importantes (para você interpretar o gráfico na prova):
  • Constante de tempo \tau=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{5/8}=\dfrac{8}{5}=1,6\\ \text{s}.
  • Valor inicial: \displaystyle y(0^+)=1-e^{0}=0.
  • Valor em regime permanente: \displaystyle y(\infty)=1 (confirmado também por G(0)=1 e pelo teorema do valor final).
  • Valores úteis para desenhar o gráfico:
    • Em t=\tau temos y(\tau)=1-e^{-1}\approx 1-\dfrac{1}{e}\approx 0,632.
    • Em t=3\tau temos y(3\tau)\approx 1-e^{-3}\approx 0,95.
      Esses pontos ajudam a traçar a curva exponencial de subida.

Passo 7

Esboço do gráfico (descrição e um pequeno desenho ASCII para orientar o desenho à mão na prova).
  • Eixo vertical: saída y(t) variando de 0 a 1.
  • Eixo horizontal: tempo t com marcações em t=0, t=\tau e t=3\tau ( \tau=1,6\\ \text{s}).
  • Curva: começa em y(0)=0, sobe rapidamente e se aproxima assintoticamente de y=1.
Exemplo de esboço (aqui os números e rótulos estão indicados; na sua folha desenhe uma curva exponencial suave que passe por esses pontos):
\begin{array}{l} \text{Altura 1 (regime permanente)}\\\ \quad 1\\ \text{─┬──────────────────────────────}\\\ \quad\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \diagup\\\ \quad 0{,}95\\ \text{─┤\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }\\\ \quad 0{,}632\\ \text{─┤\\ \\ \\ \\ \\ (t=\tau)}\\\ \quad 0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \text{─┴─────┬─────────────}\\\ \quad\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ 0\quad t=\tau\quad t=3\tau\\ \\ \text{(eixo tempo)} \end{array}
(Proceda na prova desenhando um eixo vertical de 0 a 1, um eixo tempo com \tau=1,6\\ \text{s} marcado, e a curva y(t)=1-e^{-\tfrac{5}{8}t} passando por (0,0), (\tau,0{,}632), (3\tau,0{,}95) e tendendo a 1.)

Resposta

y(t)=1-e^{-\tfrac{5}{8}t},\quad t\ge0

Exercícios relacionados