Encontre a resposta total
, a resposta ao estado nulo
e a resposta de entrada zero
dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
para a entrada
e condições iniciais
e
para a entrada
Passo 1
O enunciado pede três coisas para
:
- A resposta total
do sistema
quando a entrada é
e as condições iniciais são
e
.
- A resposta ao estado nulo
(ou seja, a resposta forçada com condições iniciais nulas: ). - A resposta de entrada zero
(ou seja, a resposta natural/zero-input: solução da homogênea com e as condições iniciais dadas ).
Informações relevantes fornecidas:
- Operador diferencial linear com coeficientes constantes
. - Entrada
. - O lado direito da equação é
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Primeiro calculemos o termo forçante
. Para
(onde
) temos
, então
Portanto
Logo a EDO fica, para
,
Passo 3
Agora resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
Resolvendo,
de onde
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Vamos achar uma solução particular
da EDO completa com o forçante
. Como o forçante é exponencial
e
NÃO é raiz da característica (raízes são
e
), tentamos
com
constante a determinar. Calculamos derivadas:
Substituindo na equação:
Queremos que isso seja igual a
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO (resposta total) é soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
Derivando
:
Em
:
Reescrevendo como sistema:
Subtraindo a primeira equação (multiplicada por
.]
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a resposta total:
Esta é a resposta completa
para
.
Passo 7
Agora determinamos a resposta ao estado nulo [y_{e}(t)). Por definição,
é a resposta forçada devido à entrada com condições iniciais nulas:
. Podemos obter
construindo a solução geral (mesma forma
) e escolhendo constantes para anular as condições iniciais.
Temos
. Em
impomos:
Para a derivada, em
impomos:
Resolvendo o sistema:
multiplicando a primeira por
.
Portanto a resposta ao estado nulo é
Passo 8
Finalmente, a resposta de entrada zero
é simplesmente a solução da homogênea com a entrada nula e com as condições iniciais dadas
. Ou seja, resolvemos
com
Resolvendo o sistema: da primeira
. Substituindo:
Então
. Assim
Passo 9
Checagem rápida (opcional): soma das respostas
deve dar a resposta total
. Somando:
que coincide com
encontrado no Passo 6.