Encontre a resposta total
\mathrm{y}(\mathrm{t}), a resposta ao estado nulo y_{e}(t) e a resposta de entrada zero y_{0}(t) dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
\left(D^{2}+5 D+6\right) y(t)=(D+1) x(t)
para a entrada x(t)=e^{-4 t} u(t) e condições iniciais y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede três coisas para t\ge0:
  • A resposta total y(t) do sistema
\left(D^{2}+5D+6\right)y(t) = (D+1)x(t),
quando a entrada é x(t)=e^{-4t}u(t) e as condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=1.
  • A resposta ao estado nulo y_{e}(t) (ou seja, a resposta forçada com condições iniciais nulas: y(0)=0,\;y'(0)=0).
  • A resposta de entrada zero y_{0}(t) (ou seja, a resposta natural/zero-input: solução da homogênea com x(t)=0 e as condições iniciais dadas y(0)=2,\;y'(0)=1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Operador diferencial linear com coeficientes constantes \;L(D)=D^{2}+5D+6.
  • Entrada x(t)=e^{-4t}u(t).
  • O lado direito da equação é (D+1)x(t)=x'(t)+x(t).
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=1.

Passo 2

Primeiro calculemos o termo forçante (D+1)x(t). Para t>0 (onde u(t)=1) temos x(t)=e^{-4t}, então
x'(t) = -4e^{-4t}.
Portanto
(D+1)x(t)=x'(t)+x(t) = -4e^{-4t}+e^{-4t} = -3e^{-4t}.
Logo a EDO fica, para t>0,
y''(t)+5y'(t)+6y(t) = -3e^{-4t}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação homogênea associada:
y_h''+5y_h'+6y_h=0.
A equação característica é
r^{2}+5r+6=0.
Resolvendo,
r = \frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{-5\pm1}{2},
de onde \;r=-2 e \;r=-3. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{-2t}+C_2 e^{-3t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.

Passo 4

Vamos achar uma solução particular y_p(t) da EDO completa com o forçante -3e^{-4t}. Como o forçante é exponencial e^{-4t} e -4 NÃO é raiz da característica (raízes são -2 e -3), tentamos
y_p(t)=A e^{-4t},
com A constante a determinar. Calculamos derivadas:
y_p'(t) = -4A e^{-4t},\qquad y_p''(t)=16A e^{-4t}.
Substituindo na equação:
y_p''+5y_p'+6y_p = \bigl(16A -20A +6A\bigr)e^{-4t} = 2A e^{-4t}.
Queremos que isso seja igual a -3e^{-4t}, logo
2A = -3 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{3}{2}.
Portanto
y_p(t) = -\tfrac{3}{2} e^{-4t}.

Passo 5

A solução geral da EDO (resposta total) é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{-2t}+C_2 e^{-3t} -\tfrac{3}{2} e^{-4t}.
Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_1\) e \(C_2\). Em \(t=0\): \[y(0)=C_1+C_2 -\tfrac{3}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad C_1+C_2 = \tfrac{7}{2}.
Derivando y(t):
y'(t) = -2C_1 e^{-2t} -3C_2 e^{-3t} +6 e^{-4t}.
Em t=0:
y'(0) = -2C_1 -3C_2 +6 = 1 \quad\Rightarrow\quad -2C_1 -3C_2 = -5.
Reescrevendo como sistema:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{7}{2},\\[4pt] 2C_1 +3C_2 = 5. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação (multiplicada por 2\]) da segunda: \[(2C_1+3C_2)-(2C_1+2C_2)=5-7 \quad\Rightarrow\quad C_2=-2.\] Então \(C_1 = \tfrac{7}{2}-C_2 = \tfrac{7}{2}-(-2)=\tfrac{11}{2}.]

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a resposta total:
y(t)=\tfrac{11}{2}e^{-2t} -2e^{-3t} -\tfrac{3}{2}e^{-4t}.
Esta é a resposta completa y(t) para t\ge0.

Passo 7

Agora determinamos a resposta ao estado nulo [y_{e}(t)). Por definição, y_{e}(t) é a resposta forçada devido à entrada com condições iniciais nulas: y(0)=0,\;y'(0)=0. Podemos obter y_{e}(t) construindo a solução geral (mesma forma y_h+y_p) e escolhendo constantes para anular as condições iniciais.
Temos y(t)=C_1 e^{-2t}+C_2 e^{-3t}-\tfrac{3}{2}e^{-4t}. Em t=0 impomos:
C_1 + C_2 -\tfrac{3}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac{3}{2}.
Para a derivada, em t=0 impomos:
-2C_1 -3C_2 +6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2C_1 +3C_2 = 6.
Resolvendo o sistema:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{3}{2},\\[4pt] 2C_1 +3C_2 = 6, \end{cases}
multiplicando a primeira por 2\] e subtraindo: \[(2C_1+3C_2)-(2C_1+2C_2)=6-3 \quad\Rightarrow\quad C_2=3,\] e então \(C_1 = \tfrac{3}{2}-3 = -\tfrac{3}{2}.
Portanto a resposta ao estado nulo é
y_{e}(t) = -\tfrac{3}{2} e^{-2t} + 3 e^{-3t} -\tfrac{3}{2} e^{-4t}.]

Passo 8

Finalmente, a resposta de entrada zero y_{0}(t) é simplesmente a solução da homogênea com a entrada nula e com as condições iniciais dadas y(0)=2,\;y'(0)=1. Ou seja, resolvemos
y_0(t)=D_1 e^{-2t}+D_2 e^{-3t},
com
D_1 + D_2 = 2,\qquad -2D_1 -3D_2 = 1.
Resolvendo o sistema: da primeira D_1=2-D_2. Substituindo:
-2(2-D_2)-3D_2=1 \quad\Rightarrow\quad -4+2D_2-3D_2=1 \quad\Rightarrow\quad -D_2=5 \quad\Rightarrow\quad D_2=-5.
Então D_1 = 2-(-5)=7. Assim
y_{0}(t)=7e^{-2t} -5e^{-3t}.

Passo 9

Checagem rápida (opcional): soma das respostas y_{0}(t)+y_{e}(t) deve dar a resposta total y(t). Somando:
\bigl(7e^{-2t}-5e^{-3t}\bigr)+\bigl(-\tfrac{3}{2}e^{-2t}+3e^{-3t}-\tfrac{3}{2}e^{-4t}\bigr) = \tfrac{11}{2}e^{-2t}-2e^{-3t}-\tfrac{3}{2}e^{-4t},
que coincide com y(t) encontrado no Passo 6.

Resposta

y(t)=\tfrac{11}{2}e^{-2t}-2e^{-3t}-\tfrac{3}{2}e^{-4t}\newline
y_{e}(t)=-\tfrac{3}{2}e^{-2t}+3e^{-3t}-\tfrac{3}{2}e^{-4t}\newline
y_{0}(t)=7e^{-2t}-5e^{-3t}