Encontre a resposta total
\mathrm{y}(\mathrm{t}), a resposta ao estado nulo y_{e}(t) e a resposta de entrada zero y_{0}(t) dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
\frac{d^{2} t}{d t^{2}}+4 \frac{d y}{d t}+3 y(t)=2 \frac{d x}{d t}+x(t)
para a entrada x(t)=u(t) e condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2
(Dica: Some a resposta de estado nulo e entrada zero para verificar se está correto 😃

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (corrigi um pequeno erro de tipografia na equação, assumindo que o segundo derivado é de y):
  • Equação diferencial (corrigida):
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+4\frac{dy}{dt}+3y(t)=2\frac{dx}{dt}+x(t).
  • Entrada: \;x(t)=u(t) (degrau unitário).
  • Condições iniciais (antes da aplicação do degrau): \;y(0)=1 e \;y'(0)=2.
  • O que o enunciado pede:
    • A resposta total \;y(t) para t\ge0.
    • A resposta ao estado nulo \;y_{e}(t) (zero-state response: resposta causada pela entrada com condições iniciais nulas).
    • A resposta de entrada zero \;y_{0}(t) (zero-input response: resposta causada pelas condições iniciais com entrada nula).
  • Dica do enunciado: somar \;y_{e}(t) e \;y_{0}(t) deve dar \;y(t).

Passo 2

Estratégia e conceitos rápidos (sem pular etapas):
  • Como o sistema é linear e com coeficientes constantes, vale a superposição: \;y(t)=y_{0}(t)+y_{e}(t).
  • Para encontrar \;y_{0}(t) (resposta de entrada zero) resolvo a equação homogênea y''+4y'+3y=0com as condições iniciais apropriadas (ver observação abaixo).
  • Para encontrar \;y_{e}(t) (resposta ao estado nulo), uso a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e a transformada de \;x(t)=u(t), ou seja \;X(s)=\dfrac{1}{s}. Isso fornece \;Y_e(s) e, por parcial frações, \;y_e(t).
  • Observação importante (sobre impulso no instante t=0): como a equação contém \;2\,x'(t) e \;x(t)=u(t) tem derivada \delta(t) no ponto 0, o lado direito tem um termo impulsivo. Isso pode provocar salto na derivada de y em t=0. Para efeito de cálculo prático aqui:
    • ao calcular \;y_e(t) usamos condições iniciais nulas (sistema em repouso antes do degrau);
    • ao calcular \;y_0(t) usamos as condições iniciais fornecidas (aquelas dadas no enunciado) e tomamos entrada nula.
    • A soma y_0+y_e é a solução para t>0 compatível com a equação.

Passo 3

Resolvendo a equação homogênea para \;y_{0}(t)\): - Equação homogênea: \[y''+4y'+3y=0.
  • Equação característica: r^2+4r+3=0.Resolvo a quadrática: (r+1)(r+3)=0 => raízes r=-1 e r=-3.
  • Solução geral homogênea: y_0(t)=A e^{-t}+B e^{-3t},onde A,B são constantes a determinar pelas condições iniciais (essas serão as condições iniciais do problema, pois y_e foi calculada com condições nulas).
  • Impondo as condições iniciais dadas (para a parte de entrada zero a entrada é nula mas as condições iniciais do sistema são as do enunciado): y_0(0)=A+B=1,
y_0'(t)=-A e^{-t}-3B e^{-3t}\quad\Rightarrow\quad y_0'(0)=-A-3B=2.
  • Resolvo o sistema: \begin{cases} A+B=1,\\[4pt] -A-3B=2. \end{cases}Da primeira A=1-B\]. Substituindo na segunda: \[-(1-B)-3B=2 \Rightarrow -1 +B -3B=2 \Rightarrow -1-2B=2 \Rightarrow -2B=3 \Rightarrow B=-\tfrac{3}{2}.\] Então \(A=1-(-\tfrac{3}{2})=\tfrac{5}{2}.
  • Portanto \boxed{\,y_0(t)=\frac{5}{2}e^{-t}-\frac{3}{2}e^{-3t}\,}(essa é a resposta de entrada zero — resposta somente às condições iniciais, com entrada nula).]

Passo 4

Encontrando a resposta ao estado nulo \;y_{e}(t) via transformada de Laplace (condições iniciais nulas):
  • Primeiro escrevo a função de transferência (usando transformadas sem considerar condições iniciais): H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{2s+1}{s^{2}+4s+3}.Isto vem de aplicar Laplace na equação com y(0)=y'(0)=0.
  • Como x(t)=u(t) tem \;X(s)=\dfrac{1}{s}, temos Y_e(s)=H(s)X(s)=\frac{2s+1}{s\,(s^{2}+4s+3)}=\frac{2s+1}{s(s+1)(s+3)}.
  • Faço frações parciais: procuro A,B,C tais que \frac{2s+1}{s(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+3}.Multiplicando por s(s+1)(s+3): 2s+1 = A(s+1)(s+3)+B s(s+3)+C s(s+1).Uso o método direto substituindo valores de s:
    • Para s=0: 1=3A \Rightarrow A=\tfrac{1}{3}.
    • Para s=-1: -2+1=-1 = B(-1)(2)=-2B \Rightarrow B=\tfrac{1}{2}.
    • Para s=-3: -6+1=-5 = C(-3)(-2)=6C \Rightarrow C=-\tfrac{5}{6}.
  • Logo Y_e(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{s+3}.
  • Invertendo a transformada de Laplace: \boxed{\,y_e(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{5}{6}e^{-3t}\,}(essa é a resposta ao estado nulo — resposta causada pela entrada com condições iniciais nulas).

Passo 5

Verificação rápida por soma e observações finais:
  • Somando \;y_0(t) e \;y_e(t): y(t)=\left(\frac{5}{2}e^{-t}-\frac{3}{2}e^{-3t}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{5}{6}e^{-3t}\right).Agrupando termos: y(t)=\frac{1}{3}+\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)e^{-t}+\left(-\frac{3}{2}-\frac{5}{6}\right)e^{-3t}.Calculo os coeficientes: \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3,\qquad -\frac{3}{2}-\frac{5}{6}=-\frac{9+5}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}.Portanto \boxed{\,y(t)=\frac{1}{3}+3e^{-t}-\frac{7}{3}e^{-3t}\,}.
  • Checagens:
    • y(0)=\tfrac{1}{3}+3-\tfrac{7}{3}=1 (confere com a condição inicial dada para y(0)).
    • A existência de \;x'(t)=\delta(t) provoca um efeito impulsivo em t=0, podendo alterar y'(0^+) em relação a y'(0^-). As várias decomposições acima estão consistentes entre si e a soma confirma a identidade pedida pelo enunciado.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}+3e^{-t}-\frac{7}{3}e^{-3t}
y_{e}(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{5}{6}e^{-3t}
y_{0}(t)=\frac{5}{2}e^{-t}-\frac{3}{2}e^{-3t}

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