Encontre a resposta total
, a resposta ao estado nulo
e a resposta de entrada zero
dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
para a entrada
e condições iniciais
e
(Dica: Some a resposta de estado nulo e entrada zero para verificar se está correto 😃
para a entrada
(Dica: Some a resposta de estado nulo e entrada zero para verificar se está correto 😃
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (corrigi um pequeno erro de tipografia na equação, assumindo que o segundo derivado é de
):
- Equação diferencial (corrigida):
- Entrada:
(degrau unitário). - Condições iniciais (antes da aplicação do degrau):
e . - O que o enunciado pede:
- A resposta total
para . - A resposta ao estado nulo
(zero-state response: resposta causada pela entrada com condições iniciais nulas). - A resposta de entrada zero
(zero-input response: resposta causada pelas condições iniciais com entrada nula).
- A resposta total
- Dica do enunciado: somar
e deve dar .
Passo 2
Estratégia e conceitos rápidos (sem pular etapas):
- Como o sistema é linear e com coeficientes constantes, vale a superposição:
. - Para encontrar
(resposta de entrada zero) resolvo a equação homogênea com as condições iniciais apropriadas (ver observação abaixo). - Para encontrar
(resposta ao estado nulo), uso a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e a transformada de , ou seja . Isso fornece e, por parcial frações, . - Observação importante (sobre impulso no instante
): como a equação contém e tem derivada no ponto , o lado direito tem um termo impulsivo. Isso pode provocar salto na derivada de em . Para efeito de cálculo prático aqui: - ao calcular
usamos condições iniciais nulas (sistema em repouso antes do degrau); - ao calcular
usamos as condições iniciais fornecidas (aquelas dadas no enunciado) e tomamos entrada nula. - A soma
é a solução para compatível com a equação.
- ao calcular
Passo 3
Resolvendo a equação homogênea para
- Equação característica:
Resolvo a quadrática: => raízes e . - Solução geral homogênea:
onde são constantes a determinar pelas condições iniciais (essas serão as condições iniciais do problema, pois foi calculada com condições nulas). - Impondo as condições iniciais dadas (para a parte de entrada zero a entrada é nula mas as condições iniciais do sistema são as do enunciado):
- Resolvo o sistema:
Da primeira . - Portanto
(essa é a resposta de entrada zero — resposta somente às condições iniciais, com entrada nula).]
Passo 4
Encontrando a resposta ao estado nulo
via transformada de Laplace (condições iniciais nulas):
- Primeiro escrevo a função de transferência (usando transformadas sem considerar condições iniciais):
Isto vem de aplicar Laplace na equação com . - Como
tem , temos - Faço frações parciais: procuro
tais que Multiplicando por : Uso o método direto substituindo valores de : - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
- Logo
- Invertendo a transformada de Laplace:
(essa é a resposta ao estado nulo — resposta causada pela entrada com condições iniciais nulas).
Passo 5
Verificação rápida por soma e observações finais:
- Somando
e : Agrupando termos: Calculo os coeficientes: Portanto - Checagens:
-
(confere com a condição inicial dada para ). - A existência de
provoca um efeito impulsivo em , podendo alterar em relação a . As várias decomposições acima estão consistentes entre si e a soma confirma a identidade pedida pelo enunciado.
-