Encontre todos os valores de x \in \mathbb{R}^{4} que são levados no vetor nulo pela transformação x \rightarrow A x, onde
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right] .

Passo 1

O problema pede: encontrar todos os vetores x\in\mathbb{R}^{4} tais que A x = 0, onde
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right].
Vou denotar o vetor desconhecido por x=\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)^{T}. Não há outros dados ocultos: temos um sistema linear homogêneo com três equações e quatro incógnitas.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o sistema A x = 0 obtemos as três equações:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-x_{4}=0. \end{cases}
Uma forma prática de resolver é montar a matriz associada (com o lado direito zero) e aplicar eliminação para triangularizar.]

Passo 3

Montamos a matriz das equações (colocando o zero do lado direito implicitamente) e aplicamos operações elementares por linhas. A matriz inicial é
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right].
Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira (operações R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}) obtemos
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo R_{2} por -2 (ou multiplicando por -\tfrac{1}{2}):
R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_{2}\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right].
Agora eliminamos o elemento abaixo do pivô da coluna 2: R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Isso dá
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} \end{array}\right].
Agora a matriz está em forma escalonada (triangular por linhas).]

Passo 5

Lemos as equações correspondentes às linhas finais. Da terceira linha temos:
x_{3}-\tfrac{3}{2}x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\tfrac{3}{2}x_{4}.
Da segunda linha:
x_{2}+x_{3}-\tfrac{1}{2}x_{4}=0.
Substituindo x_{3}=\tfrac{3}{2}x_{4} nesta segunda equação:
x_{2}+\tfrac{3}{2}x_{4}-\tfrac{1}{2}x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}+x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}=-x_{4}.
Da primeira linha:
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0.
Substituindo x_{2}=-x_{4} e x_{3}=\tfrac{3}{2}x_{4}:
x_{1}+(-x_{4})+\tfrac{3}{2}x_{4}+x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}-x_{4}+\tfrac{3}{2}x_{4}+x_{4}=0.
Faça as somas dos coeficientes de x_{4}: -1+\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{3}{2}. Assim
x_{1}+\tfrac{3}{2}x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=-\tfrac{3}{2}x_{4}.

Passo 6

Concluímos que as incógnitas são expressas em função de um parâmetro livre. Escolhendo o parâmetro t:=x_{4}\in\mathbb{R}, temos:
x_{4}=t,\qquad x_{3}=\tfrac{3}{2}t,\qquad x_{2}=-t,\qquad x_{1}=-\tfrac{3}{2}t.
Portanto o vetor solução pode ser escrito em forma paramétrica:
x=t\left(-\tfrac{3}{2},-1,\tfrac{3}{2},1\right)^{T}.
Para simplificar e apresentar um gerador com entradas inteiras, fatoramos t=\tfrac{s}{2} (ou simplesmente escolhemos s=2t) e obtemos
x=\frac{s}{2}\left(-3,-2,3,2\right)^{T}=s\left(-\tfrac{3}{2},-1,\tfrac{3}{2},1\right)^{T},\qquad s\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a solução forma um subespaço unidimensional (número de variáveis livres = 4-\operatorname{rank}(A)=1). Um vetor gerador conveniente é
\left(-3,-2,3,2\right)^{T},
pois multiplicando por qualquer escalar s e substituindo em A x devolve o vetor zero (verificação direta: cada linha de A multiplicada por esse vetor soma zero). Portanto o núcleo de A é a reta gerada por esse vetor.

Resposta

\{\,s(-3,-2,3,2)^{T}\mid s\in\mathbb{R}\,\}

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