Encontre a transformada inversa de Laplace da função:
Apresente a resposta em termos de funções exponenciais e trigonométricas reais.
Passo 1
O enunciado dá a função de Laplace
e pede a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função temporal
tal que
.
Informações relevantes: o denominador já está na forma . A incógnita é a função
expressa em termos de exponenciais e funções trigonométricas reais.
Informações relevantes: o denominador já está na forma
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas-padrão (essas são como “atalhos” que usamos na prova; memorizá‑las ajuda muito):
Explicando cada coisa:
é a transformada de Laplace,
é o termo de deslocamento no eixo de
(aparece como
), e
é a frequência angular da função seno ou cosseno. Para inverter, quando vemos no denominador algo como
, devemos tentar identificar numeradores iguais a
ou a
(ou constantes múltiplas deles) para reconhecer cosseno ou seno multiplicados por
.
Passo 3
Reescrevamos
de modo a evidenciar a forma
no numerador. Faça a mudança
. Então:
Substituindo no numerador:
E o denominador fica
Logo podemos reescrever
Agora separamos em parcelas mais simples:
Passo 4
Analise a primeira parcela
. Compare com a fórmula padrão para cosseno:
Aqui
corresponde a
com
, e
dá
. Portanto
é a transformada de Laplace de
. Como temos
, a inversa dessa parcela é
Passo 5
Agora a segunda parcela
. Observe que
é a transformada de Laplace de
, pela fórmula
com
e
. Assim
e a inversa é
Passo 6
Somando as inversas das parcelas (linearidade da transformada de Laplace), obtemos a função temporal:
Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Pronto — essa é a função
cuja transformada de Laplace é
. Força aí, você mandou bem chegando até aqui!