(2,0) Encontre a transformada inversa de Laplace da função:
F(s)=\frac{2 s+5}{(s+1)^{2}+4}
Apresente a resposta em termos de funções exponenciais e trigonométricas reais.

Passo 1

O enunciado dá a função de Laplace
F(s)=\frac{2 s+5}{(s+1)^{2}+4}
e pede a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função temporal f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Informações relevantes: o denominador já está na forma (s+1)^2+2^2. A incógnita é a função f(t) expressa em termos de exponenciais e funções trigonométricas reais.

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas-padrão (essas são como “atalhos” que usamos na prova; memorizá‑las ajuda muito):
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2},
\mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2+b^2}.
Explicando cada coisa: \mathcal{L}\{\cdot\} é a transformada de Laplace, a é o termo de deslocamento no eixo de s (aparece como s+a), e b é a frequência angular da função seno ou cosseno. Para inverter, quando vemos no denominador algo como (s+a)^2+b^2, devemos tentar identificar numeradores iguais a s+a ou a b (ou constantes múltiplas deles) para reconhecer cosseno ou seno multiplicados por e^{-a t}.

Passo 3

Reescrevamos F(s) de modo a evidenciar a forma (s+a) no numerador. Faça a mudança u=s+1. Então:
s=u-1.
Substituindo no numerador:
2s+5 = 2(u-1)+5 = 2u+3.
E o denominador fica
(s+1)^2+4 = u^2+4.
Logo podemos reescrever
F(s)=\frac{2u+3}{u^2+4}.
Agora separamos em parcelas mais simples:
\frac{2u+3}{u^2+4}=\frac{2u}{u^2+4}+\frac{3}{u^2+4}.

Passo 4

Analise a primeira parcela \displaystyle \frac{2u}{u^2+4}. Compare com a fórmula padrão para cosseno:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}.
Aqui u=s+1 corresponde a s+a com a=1, e b^2=4 b=2. Portanto
\frac{u}{u^2+4}
é a transformada de Laplace de e^{-t}\cos(2t). Como temos 2u/(u^2+4), a inversa dessa parcela é
2\,e^{-t}\cos(2t).

Passo 5

Agora a segunda parcela \displaystyle \frac{3}{u^2+4}. Observe que
\frac{2}{u^2+4}
é a transformada de Laplace de e^{-t}\sin(2t), pela fórmula
\mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2+b^2},
com a=1 e b=2. Assim
\frac{3}{u^2+4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{u^2+4}
e a inversa é
\frac{3}{2}\,e^{-t}\sin(2t).

Passo 6

Somando as inversas das parcelas (linearidade da transformada de Laplace), obtemos a função temporal:
f(t)=2\,e^{-t}\cos(2t)+\frac{3}{2}\,e^{-t}\sin(2t).
Podemos fatorar e^{-t} para deixar mais compacto:
f(t)=e^{-t}\!\left(2\cos(2t)+\frac{3}{2}\sin(2t)\right).
Pronto — essa é a função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Força aí, você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

f(t)=e^{-t}\left(2\cos(2t)+\frac{3}{2}\sin(2t)\right)

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