Encontre a Transformada de Laplace inversa das funções:
\frac{10}{(s+1)}+\frac{10}{(s+2)}+\frac{10}{(s+3)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função no domínio de s:
F(s)=\frac{10}{(s+1)}+\frac{10}{(s+2)}+\frac{10}{(s+3)}
e pede a Transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função no tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Informações fornecidas:
  • Três frações racionais com denominadores lineares s+1, s+2 e s+3.
  • Todos os coeficientes no numerador são 10.
O que se pede:
  • Calcular \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, isto é, escrever f(t) para t\ge 0.

Passo 2

Lembretes essenciais (fórmulas que vamos usar) — explicados passo a passo:
  1. Pares básicos de transformada Laplace:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{-a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+a},
desde que \Re(s+a)>0. Portanto, o par direto é
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}.
Isto implica o par inverso
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},
para t\ge 0 e com a condição de região de convergência \Re(s)>-a.
Explanação das variáveis:
  • t é a variável no domínio do tempo (tempo real, t\ge 0).
  • s é o parâmetro complexo da transformada de Laplace.
  • a é uma constante real (no nosso caso a=1,2,3 nas frações dadas).
  1. Linearidade da transformada:
    A transformada de Laplace (e sua inversa) é linear. Ou seja, para constantes c_1,c_2 e funções F_1,F_2,
\mathcal{L}^{-1}\{c_1 F_1(s)+c_2 F_2(s)\}=c_1\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}+c_2\mathcal{L}^{-1}\{F_2(s)\}.
Isso permite tratar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Aplicando os pares básicos e a linearidade às parcelas de F(s):
Para a primeira parcela, usando \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+a}\}=e^{-a t} e fator constante:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{s+1}\right\}=10\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=10 e^{-1 t}.

Passo 4

Fazendo o mesmo para as outras duas parcelas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{s+2}\right\}=10 e^{-2 t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{s+3}\right\}=10 e^{-3 t}.

Passo 5

Somando as três partes (pela linearidade):
f(t)=10 e^{-t}+10 e^{-2 t}+10 e^{-3 t}=10\bigl(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}\bigr),
valendo para t\ge 0.
Observação rápida sobre a região de convergência: cada termo individual exige \Re(s)>-1, \Re(s)>-2 e \Re(s)>-3; a interseção é \Re(s)>-1, que é a condição de existência conjunta da transformada dada.

Resposta

f(t)=10\bigl(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}\bigr),\; t\ge 0

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