Encontre a Transformada de Laplace inversa das funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função no domínio de
:
e pede a Transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função no tempo
tal que
.
Informações fornecidas:
- Três frações racionais com denominadores lineares
, e . - Todos os coeficientes no numerador são
.
O que se pede:
- Calcular
, isto é, escrever para .
Passo 2
Lembretes essenciais (fórmulas que vamos usar) — explicados passo a passo:
- Pares básicos de transformada Laplace:
desde que
. Portanto, o par direto é
Isto implica o par inverso
para
e com a condição de região de convergência
.
Explanação das variáveis:
-
é a variável no domínio do tempo (tempo real, ). -
é o parâmetro complexo da transformada de Laplace. -
é uma constante real (no nosso caso nas frações dadas).
- Linearidade da transformada:
A transformada de Laplace (e sua inversa) é linear. Ou seja, para constantese funções ,
Isso permite tratar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Aplicando os pares básicos e a linearidade às parcelas de
:
Para a primeira parcela, usando
e fator constante:
Passo 4
Fazendo o mesmo para as outras duas parcelas:
Passo 5
Somando as três partes (pela linearidade):
valendo para
.
Observação rápida sobre a região de convergência: cada termo individual exige
,
e
; a interseção é
, que é a condição de existência conjunta da transformada dada.