Encontre três bases diferentes da reta
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
vista como um subespaço de
e pede para encontrar três bases diferentes dessa reta.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A reta é o conjunto de todos os pontos
tais que . - Quer-se três bases diferentes da reta considerada como subespaço de
.
Passo 2
Definição útil (explicada devagar): uma coleção
de vetores é uma base de um subespaço
se e somente se
- os vetores de
geram (isto é, ), e - os vetores de
são linearmente independentes.
Para um subespaço unidimensional (uma reta passando pela origem) essas duas condições se resumem assim, de forma simples e prática:
- Qualquer vetor não nulo
que pertença ao subespaço gera todo o subespaço (porque todos os vetores da reta são múltiplos escalares de ). - Um único vetor não nulo é sempre linearmente independente (a única combinação
implica ).
Portanto, para uma reta que é subespaço de dimensão, qualquer vetor não nulo da reta forma uma base singleton (isto é, a base tem exatamente um vetor).
Passo 3
Vamos parametrizar a reta
. Se escrevermos
, então
logo todo ponto da reta tem a forma
para algum
. Assim a reta é exatamente o conjunto
Isto mostra que
gera a reta. Como
, o conjunto
é linearmente independente. Portanto
é uma base da reta.
Passo 4
Construção da segunda base: qualquer múltiplo escalar não nulo de
também pertence à reta e forma outra base singleton. Tomemos
.
Verificações:
Verificações:
- Pertinência:
satisfaz porque . Logo está na reta. - Não nulidade:
. - Geração:
(pois ). - Independência: um único vetor não nulo é independente.
Portantoé outra base da reta, diferente da primeira (os vetores são diferentes).
Passo 5
Construção da terceira base: escolhemos outro múltiplo escalar não nulo, por exemplo
.
Verificações:
Verificações:
- Pertinência:
satisfaz porque . Logo está na reta. - Não nulidade:
. - Geração e independência seguem como antes.
Portantoé uma terceira base, distinta das duas primeiras.
Passo 6
Observação final (útil para a prova): qualquer vetor da forma
com
gera a reta e, sozinho, forma uma base. Assim há infinitas bases possíveis; bastam escolher três valores distintos de
.