Encontre três bases diferentes da reta y=-3 x em \mathrm{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta y=-3x vista como um subespaço de \mathbb{R}^2 e pede para encontrar três bases diferentes dessa reta.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A reta é o conjunto de todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que y=-3x.
  • Quer-se três bases diferentes da reta considerada como subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição útil (explicada devagar): uma coleção B de vetores é uma base de um subespaço W se e somente se
  1. os vetores de B geram W (isto é, \operatorname{span}(B)=W), e
  2. os vetores de B são linearmente independentes.
Para um subespaço unidimensional (uma reta passando pela origem) essas duas condições se resumem assim, de forma simples e prática:
  • Qualquer vetor não nulo v que pertença ao subespaço gera todo o subespaço (porque todos os vetores da reta são múltiplos escalares de v).
  • Um único vetor não nulo é sempre linearmente independente (a única combinação \alpha v = 0 implica \alpha=0).
    Portanto, para uma reta que é subespaço de dimensão 1, qualquer vetor não nulo da reta forma uma base singleton (isto é, a base tem exatamente um vetor).

Passo 3

Vamos parametrizar a reta y=-3x. Se escrevermos x=t, então
y=-3t,
logo todo ponto da reta tem a forma
(t,-3t)=t\,(1,-3),
para algum t\in\mathbb{R}. Assim a reta é exatamente o conjunto
\{t\,(1,-3)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-3)\}.
Isto mostra que \{(1,-3)\} gera a reta. Como (1,-3)\neq(0,0), o conjunto \{(1,-3)\} é linearmente independente. Portanto \{(1,-3)\} é uma base da reta.

Passo 4

Construção da segunda base: qualquer múltiplo escalar não nulo de (1,-3) também pertence à reta e forma outra base singleton. Tomemos 2(1,-3)=(2,-6).
Verificações:
  • Pertinência: (2,-6) satisfaz y=-3x porque -6=-3\cdot 2. Logo (2,-6) está na reta.
  • Não nulidade: (2,-6)\neq(0,0).
  • Geração: \operatorname{span}\{(2,-6)\}=\operatorname{span}\{(1,-3)\} (pois (2,-6)=2(1,-3)).
  • Independência: um único vetor não nulo é independente.
    Portanto \{(2,-6)\} é outra base da reta, diferente da primeira (os vetores são diferentes).

Passo 5

Construção da terceira base: escolhemos outro múltiplo escalar não nulo, por exemplo -1(1,-3)=(-1,3).
Verificações:
  • Pertinência: ( -1,3) satisfaz y=-3x porque 3=-3\cdot(-1). Logo está na reta.
  • Não nulidade: (-1,3)\neq(0,0).
  • Geração e independência seguem como antes.
    Portanto \{(-1,3)\} é uma terceira base, distinta das duas primeiras.

Passo 6

Observação final (útil para a prova): qualquer vetor da forma (t,-3t) com t\neq 0 gera a reta e, sozinho, forma uma base. Assim há infinitas bases possíveis; bastam escolher três valores distintos de t.

Resposta

\{(1,-3)\}
\{(2,-6)\}
\{(-1,3)\}

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