Encontre os valores extremos absolutos:
Encontre o valor mínimo de
sujeita à restrição
.
Encontre o valor mínimo de
Passo 1
O enunciado dá uma função e uma restrição e pede o mínimo absoluto. Dados importantes:
sujeito à restrição
Pergunta: encontrar o valor mínimo de
(e, implicitamente, o ponto onde ocorre).
Passo 2
Usamos a restrição para eliminar uma variável (método de substituição). Da restrição temos
Substituir
em
transforma o problema em uma minimização em duas variáveis
e
, sem restrição.
Passo 3
Substituindo
em
e desenvolvendo:
Agora expandimos
:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes obtemos
Passo 4
Para minimizar
no plano, procuramos pontos críticos resolvendo
(isto é, igualar as derivadas parciais a zero). Calculamos as derivadas parciais:
Explico rapidamente: a derivada de
em relação a
é
; de
em relação a
é
; e de
é
. Procedemos igualando a zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema linear. Dividindo a primeira equação por
:
Substituindo na segunda equação:
Calculando:
Então
Passo 6
Obtemos
pela restrição
:
Portanto o candidato crítico é
Passo 7
Calculamos o valor de
nesse ponto:
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 8
Justificativa de mínimo (por que é mínimo absoluto): a função
é quadrática com matriz associada diagonal com entradas positivas
, logo essencialmente é estritamente convexa no espaço todo; após a substituição o hessiano de
é
Os menores principais são
e
, logo
é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo estrito. Como estamos minimizando uma quadrática convexa sobre um plano afim, este mínimo é absoluto e único.]
Resposta
Valor mínimo:
Ocorre em:
Ocorre em: