Encontre os valores extremos absolutos:
Encontre o valor mínimo de f(x, y, z)=2 x^{2}+4 y^{2}+z^{2} sujeita à restrição x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado dá uma função e uma restrição e pede o mínimo absoluto. Dados importantes:
f(x,y,z)=2x^{2}+4y^{2}+z^{2}
sujeito à restrição
x+y+z=1.
Pergunta: encontrar o valor mínimo de f (e, implicitamente, o ponto onde ocorre).

Passo 2

Usamos a restrição para eliminar uma variável (método de substituição). Da restrição temos
z=1-x-y.
Substituir z em f transforma o problema em uma minimização em duas variáveis x e y, sem restrição.

Passo 3

Substituindo z=1-x-y em f e desenvolvendo:
f(x,y)=2x^{2}+4y^{2}+(1-x-y)^{2}.
Agora expandimos (1-x-y)^{2}:
(1-x-y)^{2}=1-2x-2y+x^{2}+2xy+y^{2}.
Somando tudo:
f(x,y)=2x^{2}+4y^{2}+1-2x-2y+x^{2}+2xy+y^{2}.
Agrupando termos semelhantes obtemos
f(x,y)=3x^{2}+5y^{2}+2xy-2x-2y+1.

Passo 4

Para minimizar f(x,y) no plano, procuramos pontos críticos resolvendo \nabla f=0 (isto é, igualar as derivadas parciais a zero). Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x+2y-2,
\frac{\partial f}{\partial y}=10y+2x-2.
Explico rapidamente: a derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x; de 2xy em relação a x é 2y; e de -2x é -2. Procedemos igualando a zero:
6x+2y-2=0,
2x+10y-2=0.

Passo 5

Resolvendo o sistema linear. Dividindo a primeira equação por 2:
3x+y=1 \quad\Rightarrow\quad y=1-3x.
Substituindo na segunda equação:
2x+10(1-3x)=2.
Calculando:
2x+10-30x=2 \quad\Rightarrow\quad -28x=-8 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{8}{28}=\frac{2}{7}.
Então
y=1-3x=1-3\cdot\frac{2}{7}=1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}.

Passo 6

Obtemos z pela restrição z=1-x-y:
z=1-\frac{2}{7}-\frac{1}{7}=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}.
Portanto o candidato crítico é
\left(\frac{2}{7},\frac{1}{7},\frac{4}{7}\right).

Passo 7

Calculamos o valor de f nesse ponto:
f\!\left(\frac{2}{7},\frac{1}{7},\frac{4}{7}\right)=2\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+4\left(\frac{1}{7}\right)^{2}+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}.
Calculando cada termo:
2\cdot\frac{4}{49}=\frac{8}{49},\qquad 4\cdot\frac{1}{49}=\frac{4}{49},\qquad \frac{16}{49}=\frac{16}{49}.
Somando:
f=\frac{8}{49}+\frac{4}{49}+\frac{16}{49}=\frac{28}{49}=\frac{4}{7}.

Passo 8

Justificativa de mínimo (por que é mínimo absoluto): a função f é quadrática com matriz associada diagonal com entradas positivas \,2,4,1, logo essencialmente é estritamente convexa no espaço todo; após a substituição o hessiano de f(x,y) é
H=\begin{pmatrix}6 & 2 \\[4pt] 2 & 10\end{pmatrix}.
Os menores principais são 6>0 e \det H=6\cdot10-2\cdot2=56>0, logo H é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo estrito. Como estamos minimizando uma quadrática convexa sobre um plano afim, este mínimo é absoluto e único.]

Resposta

Valor mínimo: \displaystyle \frac{4}{7}
Ocorre em: \displaystyle \left(\frac{2}{7},\frac{1}{7},\frac{4}{7}\right)

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