A energia de Fermi para o cobre em
é
. Os elétrons no cobre seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac.
b. Repita o item (a) para
. (Assuma que
é constante.)
Equação:
b. Repita o item (a) para
Equação:
Passo 1
O enunciado (parte b) dá as seguintes informações e pede uma coisa direta:
- Dado: a energia de Fermi do cobre é
(assumir constante). - Dado: temperatura
. - Dado: função de distribuição de Fermi–Dirac
- O pedido: repetir o item (a) para
. Como o item (a) não foi enviado aqui, vou calcular em pontos representativos frequentemente usados em exercícios (para que você consiga comparar com o que foi feito em (a) ou com a sua prova): em , em , em , em e também em (ou seja, ). Estas escolhas mostram como a distribuição se alisa ao aumentar .
Passo 2
Entendendo a fórmula e as variáveis (aula curta e prática).
- A função
dá a probabilidade de ocupação por um elétron de um nível de energia num metal em equilíbrio térmico. - Na fórmula
: -
é a energia do nível que estamos avaliando (em aqui). -
é a energia de Fermi (em ). -
é a constante de Boltzmann. Para trabalhar em por Kelvin é prático usar . -
é a temperatura absoluta em Kelvin.
-
- Observação prática muito útil para provas: o argumento do exponencial é adimensional e frequentemente escrito como
. Portanto primeiro calcule (em ), depois divida a diferença de energias por e enfim avalie .
Passo 3
Calcular
em
para
.
Interpretação: a “escala térmica”
a
é cerca de
. Isso diz que energias a uma fração de
ao redor de
terão probabilidades intermediárias — a distribuição fica “borrada” numa faixa de algumas vezes
.
Passo 4
Caso especial:
.
- Substituindo
no argumento do exponencial dá zero, então
- Portanto, para qualquer
(não nula), a probabilidade de ocupação exatamente em é (metade).
Passo 5
Calcular
para
(ou seja
).
- O argumento do exponencial é
.
- Interpretação: a
acima de há cerca de de chance de ocupação.
Passo 6
Calcular
para
.
- Primeiro calcule o argumento:
- Avaliando o exponencial:
.
- Interpretação prática: a
(≈ ) acima de a ocupação já caiu para ~24%.
Passo 7
Calcular
para
.
- Argumento:
- Exponencial enorme:
.
- Interpretação: níveis 1 eV acima de
têm probabilidade praticamente zero de estarem ocupados a .
Passo 8
Calcular
para
.
- Argumento:
- Exponencial:
.
- Interpretação: 0,1 eV abaixo de
ainda tem alta probabilidade de estar ocupado (~76%).
Passo 9
Resumo físico e dica de prova (rápida e prática).
- Resumo numérico:
. A faixa significativa de “borramento” térmico em torno de tem largura da ordem de alguns . - Dica: em provas, você pode avaliar rapidamente
e usar a tabela/valores conhecidos , etc., para estimar sem calculadora.