A energia de Fermi para o cobre em T=300 \mathrm{~K} é 7,0 \mathrm{eV}. Os elétrons no cobre seguem a função de distribuição de Fermi-Dirac.
b. Repita o item (a) para T=1000 \mathrm{~K}. (Assuma que E_{F} é constante.)
Equação: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}

Passo 1

O enunciado (parte b) dá as seguintes informações e pede uma coisa direta:
  • Dado: a energia de Fermi do cobre é E_{F}=7{,}0\\ \mathrm{eV} (assumir constante).
  • Dado: temperatura T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Dado: função de distribuição de Fermi–Dirac
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}.
  • O pedido: repetir o item (a) para T=1000\\ \mathrm{K}. Como o item (a) não foi enviado aqui, vou calcular f(E) em pontos representativos frequentemente usados em exercícios (para que você consiga comparar com o que foi feito em (a) ou com a sua prova): em E=E_{F}, em E=E_{F}+0{,}1\\ \mathrm{eV}, em E=E_{F}+1{,}0\\ \mathrm{eV}, em E=E_{F}-0{,}1\\ \mathrm{eV} e também em E=E_{F}+1\\ kT (ou seja, E-E_F=kT). Estas escolhas mostram como a distribuição se alisa ao aumentar T.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as variáveis (aula curta e prática).
  • A função f(E) dá a probabilidade de ocupação por um elétron de um nível de energia E num metal em equilíbrio térmico.
  • Na fórmula \;f(E)=\dfrac{1}{1+e^{(E-E_F)/kT}}\;:
    • \;E\; é a energia do nível que estamos avaliando (em \mathrm{eV} aqui).
    • \;E_F\; é a energia de Fermi (em \mathrm{eV}).
    • \;k\; é a constante de Boltzmann. Para trabalhar em \mathrm{eV} por Kelvin é prático usar \;k=8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
    • \;T\; é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • Observação prática muito útil para provas: o argumento do exponencial é adimensional e frequentemente escrito como (E-E_F)/(kT). Portanto primeiro calcule \;kT\; (em \mathrm{eV}), depois divida a diferença de energias por \;kT\; e enfim avalie e^{(\cdot)}.

Passo 3

Calcular kT em \mathrm{eV} para T=1000\\ \mathrm{K}.
k = 8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}
kT = 8{,}617\times10^{-5}\times1000 = 0{,}08617\\ \mathrm{eV}.
Interpretação: a “escala térmica” kT a 1000\\ \mathrm{K} é cerca de 0{,}086\\ \mathrm{eV}. Isso diz que energias a uma fração de \sim 0{,}1\\ \mathrm{eV} ao redor de E_F terão probabilidades intermediárias — a distribuição fica “borrada” numa faixa de algumas vezes kT.

Passo 4

Caso especial: E=E_F.
  • Substituindo \;E=E_F\; no argumento do exponencial dá zero, então
f(E_F)=\frac{1}{1+e^{0}}=\frac{1}{2}.
  • Portanto, para qualquer T (não nula), a probabilidade de ocupação exatamente em E_F é \;f(E_F)=\tfrac{1}{2}\; (metade).

Passo 5

Calcular f para E=E_F+1\\ kT (ou seja \;E-E_F=kT=0{,}08617\\ \mathrm{eV}).
  • O argumento do exponencial é (E-E_F)/(kT)=1.
f(E_F+kT)=\frac{1}{1+e^{1}}=\frac{1}{1+2{,}7182818\ldots}=0{,}26894\ldots \approx 0{,}269.
  • Interpretação: a 1\\ kT acima de E_F há cerca de 27\% de chance de ocupação.

Passo 6

Calcular f para E=E_F+0{,}1\\ \mathrm{eV}.
  • Primeiro calcule o argumento:
\frac{E-E_F}{kT}=\frac{0{,}1}{0{,}08617}\approx 1{,}1605.
  • Avaliando o exponencial: e^{1{,}1605}\approx 3{,}191.
f(E_F+0{,}1\\ \mathrm{eV})=\frac{1}{1+3{,}191}\approx 0{,}2386\approx 0{,}239.
  • Interpretação prática: a +0{,}1\\ \mathrm{eV} (≈ 1{,}16\\ kT) acima de E_F a ocupação já caiu para ~24%.

Passo 7

Calcular f para E=E_F+1{,}0\\ \mathrm{eV}.
  • Argumento:
\frac{E-E_F}{kT}=\frac{1{,}0}{0{,}08617}\approx 11{,}605.
  • Exponencial enorme: e^{11{,}605}\approx 1{,}09608\times10^{5}.
f(E_F+1{,}0\\ \mathrm{eV})\approx\frac{1}{1+1{,}09608\times10^{5}}\approx9{,}12\times10^{-6}.
  • Interpretação: níveis 1 eV acima de E_F têm probabilidade praticamente zero de estarem ocupados a 1000\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Calcular f para E=E_F-0{,}1\\ \mathrm{eV}.
  • Argumento:
\frac{E-E_F}{kT}=\frac{-0{,}1}{0{,}08617}\approx -1{,}1605.
  • Exponencial: e^{-1{,}1605}\approx 0{,}3134.
f(E_F-0{,}1\\ \mathrm{eV})=\frac{1}{1+0{,}3134}\approx0{,}7616\approx0{,}762.
  • Interpretação: 0,1 eV abaixo de E_F ainda tem alta probabilidade de estar ocupado (~76%).

Passo 9

Resumo físico e dica de prova (rápida e prática).
  • Resumo numérico: kT(1000\\ \mathrm{K})\approx0{,}08617\\ \mathrm{eV}. A faixa significativa de “borramento” térmico em torno de E_F tem largura da ordem de alguns kT.
  • Dica: em provas, você pode avaliar rapidamente (E-E_F)/kT e usar a tabela/valores conhecidos e^{1}\approx2{,}718, e^{2}\approx7{,}389 etc., para estimar f sem calculadora.

Resposta

f(E_F)=\dfrac{1}{2}=0{,}5
f(E_F+kT)=f(E_F+0{,}08617\\ \mathrm{eV})\approx0{,}269
f(E_F+0{,}1\\ \mathrm{eV})\approx0{,}239
f(E_F+1{,}0\\ \mathrm{eV})\approx9{,}12\times10^{-6}
f(E_F-0{,}1\\ \mathrm{eV})\approx0{,}762

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